Basis untuk Ruang Vektor

1. Basis untuk Ruang Vektor

Definisi basis: Jika V adalah sembarang ruang vektor dan S = {v₁, v₂, ..., v_n} adalah suatu himpunan vektor-vektor dalam V, maka S disebut suatu basis untuk V jika dua syarat berikut ini dipenuhi: 

(a) S bebas secara linear.

(b) S merentangkan V.

Suatu basis adalah generalisasi ruang vektor dari suatu sistgm koordinat dalam ruang berdimensi 2 dan ruang berdimensi 3.

Berikut teorema keunikan representasi basis.

Teorema: Jika S = {v₁, v₂, ..., v_n} adalah suatu basis untuk suatu ruang vektor V, maka setiap vektor v dalam V dapat dinyatakan dalam bentuk v = c₁v₁ + c₂v₂ + ... + c_nv_n dalam tepat satu cara.

Bukti:

Karena S merentangkan V, maka dari definisi suatu himpunan rentang kita dapatkan bahwa setiap vektor dalam V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S. Untuk melihat bahwa hanya ada satu cara untuk menyatakan suatu vektor sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S, anggap bahwa suatu vektor v dapat ditulis sebagai

v = c₁v₁ + c₂v₂ + ... + c_nv_n, atau

v = k₁v₁ + k₂v₂ + ... + k_nv_n 

Kurangkan kedua persamaan menjadi:

(c₁ – k₁)v₁ + (c₂ – k₂)v₂ + ... + (c_n – k_n)v_n = 0

persamaan baru ini merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S, dikarenakan S bebas linear diharuskan koefisien-koefisiennya sama dengan nol, sehingga:

c₁ – k₁ = 0,    c₂ – k₂ = 0,    ...,    c_n – k_n = 0

c₁ = k₁,    c₂ = k₂,    ...,    c_n = k_n 

Jadi, kedua bentuk merupakan ekspresi yang sama. ■

2. Koordinat Relatif Terhadap Basis

Jika S = {v₁, v₂, ..., v_n} adalah suatu basis untuk ruang vektor V, dan v = c₁v₁ + c₂v₂ + ... + c_nv_n adalah ekspresi untuk suatu vektor v dalam bentuk basis S, maka skalar-skalar c₁, c₂, ..., c_n disebut koordinat v relatif terhadap basis S. Vektor (c₁, c₂, ..., c_n) dalam R-n yang tersusun dari koordinat-koordinat ini disebut koordinat vektor v relatif terhadap S; ini dinyatakan dengan (v)_S = (c₁, c₂, ..., c_n).

Tambahan: Seharusnya diperhatikan bahwa vektor-vektor koordinat tidak hanya tergantung pada basis S, tetapi juga pada urutan di mana vektor-vektor basis tersebut ditulis; perubahan dalam urutan vektor-vektor basis menghasilkan suatu perubahan urutan yang berpadanan untuk anggota-anggota dalam vektor-vektor koordinat.

3. Basis Standar untuk R3

Ingat kembali vektor-vektor satuan standar di R3, yaitu:

i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)

S = {i, j, k} adalah suatu himpunan yang bebas linear di R3. Himpunan ini juga merentang R3 karena setiap vektor v = (a, b, c) dalam R3 dapat ditulis sebagai:

v = (a, b, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) = ai + bj + ck.

Jadi, S adalah suatu basis untuk R3; ini disebut basis standar untuk R3. Dengan memperhatikan koefisien i, j, dan k, kita dapatkan bahwa koordinat v relatif terhadap basis standar adalah a, b, dan c sehingga (v)_S = (a, b, c). Dengan membandingkan hasil ini dengan vektor v, diperoleh kesamaan (v)_S = v. Persamaan ini menyatakan bahwa komponen-komponen suatu vektor v relatif terhadap suatu sistem koordinat xyz segiempat dan koordinat-koordinat v relatif terhadap basis standar adalah sama; jadi, sistem koordinat dan basis menghasilkan korespondensi satu-satu yang persis sama antara titik-titik dalam ruang berdimensi 3 dan pasangan terurut 3 bilangan real.

4. Basis Standar untuk R-n

Pembahasan tentang R3 pada poin sebelumnya merupakan kasus khusus dari R-n yang dibahas pada poin ini. Berikut vektor-vektor satuan standar di R-n:

e₁ = (1, 0, 0, ..., 0),    e₂ = (0, 1, 0, ..., 0),    ...,    e_n = (0, 0, 0, ..., 1)

vektor-vektor ini ditampung oleh himpunan S = {e₁, e₂, ..., e_n} yang bebas linear di R-n. Himpunan ini juga merentangkan R-n karena sebarang vektor v = (v₁, v₂, ..., v_n) dalam R-n dapat ditulis sebagai:

v = v₁e₁ + v₂e₂ + ... +  v_ne_n  

Jadi, S adalah basis untuk R-n; ini disebut basis standar untuk R-n. Dengan memperhatikan koefisien-koefisien pada kombinasi linear v, kita dapatkan bahwa koordinat v = (v₁, v₂, ..., v_n) relatif terhadap basis standar adalah v₁, v₂, ..., v_n sehingga (v)_S = (v₁, v₂, ..., v_n) yang sama dengan v. Sehingga suatu vektor v dan vektor koordinatnya relatif terhadap basis standar untuk R-n adalah sama.

5. Basis Standar untuk Fungsi Polinomial

Ingat kembali bahwa himpunan S = {1, x, x², ..., xⁿ} merentang P_n dan bebas secara linear. Jadi, S adalah suatu basis untuk P_n; ini disebut basis standar untuk P_n. 

6. Basis Standar untuk Matriks 2 × 2

Misal:

Himpunan S = {M₁, M₂, M₃, M₄} adalah basis untuk ruang vektor M₂₂ dari matriks-matris 2 × 2. Perhatikan matriks sembarang:

dapat ditulis sebagai:

Sehingga S merentang ruang vektor M₂₂ dari matriks-matris 2 × 2.

Perhatikan kombinasi linear nol berikut:

aM₁ + bM₂ + cM₃ + dM₄ = 0

agar terpenuhi diharuskan:

Jadi, a = b = c = d = 0 sehingga S bebas secara linear. Dikarenakan S merentang ruang vektor M₂₂ dari matriks-matris 2 × 2 dan bebas secara linear, S merupakan basis untuk M₂₂; ini disebut basis standar untuk M₂₂.

Lebih umum lagi, basis standar untuk M_mn terdiri dari mn matriks yang berbeda dengan satu dan nol untuk entri-entri yang tersisa.

7. Subruang

Jika S = {v₁, v₂, ..., v_r} adalah suatu himpunan yang bebas linear dalam suatu ruang vektor V, maka S adalah suatu basis untuk subruang rent(S) karena himpunan S merentang rent(S) berdasarkan definisi rent(S).