Dimensi (Ruang Vektor Umum)

Definisi: Suatu ruang vektor tak nol V disebut berdimensi terhingga jika V berisi suatu himpunan vektor terhingga {v₁, v₂, ..., v_n} yang membentuk suatu basis. Jika tidak ada himpunan yang seperti itu, maka V disebut berdimensi tak hingga. Disamping itu, kita akan menganggap ruang vektor nol sebagai berdimensi terhingga.

Beberapa contoh: Ruang vektor R-n, himpunan fungsi-fungsi polinom berderajat n, dan himpunan matriks-matriks berukuran m × n berdimensi terhingga. Adapun himpunan fungsi-fungsi beserta turunan-turunannya berdimensi tak hingga.

1. Kunci untuk Konsep Dimensi

Jika V adalah suatu ruang vektor berdimensi terhingga dan {v₁, v₂, ..., v_n} adalah sembarang basis, maka: 

(a) Setiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak bebas secara linear.

(b) Tidak ada himpunan dengan vektor yang kurang dari n yang merentang V. 

Bukti untuk (a):

Misal S' = {w₁, w₂, ..., w_m} adalah sembarang himpunan m vektor dalam V, dengan m > n. Akan ditunjukkan S' tak bebas secara linear.

Karena S = {v₁, v₂, ..., v_n} adalah suatu basis, setiap w_i dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S, misalkan

w₁ = a₁₁v₁ + a₂₁v₂ + ... + a_n1v_n 

w₂ = a₁₂v₁ + a₂₂v₂ + ... + a_n2v_n 

 ⋮

w_m = a_1mv₁ + a_2mv₂ + ... + a_nmv_n 

Untuk menunjukkan S' tak bebas secara linear, harus dicari skalar k₁, k₂, ..., k_m dengan ada diantaranya yang taknol, sedemikian sehingga:

k₁w₁ + k₂w₂ + ... + k_mw_m = 0

Tulis ulang, bentuknya menjadi:

k₁(a₁₁v₁ + a₂₁v₂ + ... + a_n1v_n) + k₂(a₁₂v₁ + a₂₂v₂ + ... + a_n2v_n) + ... + k_m(a_1mv₁ + a_2mv₂ + ... + a_nmv_n) = 0

Susun menjadi SPL:

a₁₁k₁ + a₁₂k₂ + ... + a_1mk_m = 0

a₂₁k₁ + a₂₂k₂ + ... + a_2mk_m = 0

 ⋮

a_n1k₁ + a_n2k₂ + ... + a_nmk_m = 0

Karena m > n, SPL homogen ini memiliki variabel yang lebih banyak dari persamaannya, sehingga memiliki solusi non-trivial. Dengan kata lain terdapat skalar k₁, k₂, ..., k_m dengan ada diantaranya yang taknol, sedemikian sehingga k₁w₁ + k₂w₂ + ... + k_mw_m = 0.

∴ Jadi, S' tak bebas secara linear ∎

Bukti untuk (b):

Misal S' = {w₁, w₂, ..., w_m} adalah sembarang himpunan m vektor dalam V, dengan m < n. Akan ditunjukkan S' tidak merentang V.

Andaikan S' merentang V, tentunya setiap vektor dalam V adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S'. Secara khusus, setiap vektor basis v, adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S', misalkan:

v₁ = a₁₁w₁ + a₂₁w₂ + ... + a_m1w_m 

v₂ = a₁₂w₁ + a₂₂w₂ + ... + a_m2w_m 

 ⋮

v_n = a_1nw₁ + a_2nw₂ + ... + a_mnw_m 

Persamaan nol untuk vektor-vektor ini adalah:

k₁v₁ + k₂v₂ + ... + k_nv_n = 0

k₁(a₁₁w₁ + a₂₁w₂ + ... + a_m1w_m) + k₂(a₁₂w₁ + a₂₂w₂ + ... + a_m2w_m) + ... + k_n(a_1nw₁ + a_2nw₂ + ... + a_mnw_m) = 0

Susun menjadi SPL:

a₁₁k₁ + a₁₂k₂ + ... + a_1nk_n = 0

a₂₁k₁ + a₂₂k₂ + ... + a_2nk_n = 0

 ⋮

a_m1k₁ + a_m2k₂ + ... + a_mnk_n = 0

Karena m < n, SPL homogen ini memiliki variabel yang lebih banyak dari persamaannya, sehingga memiliki solusi non-trivial. Dengan kata lain terdapat skalar k₁, k₂, ..., k_m dengan ada diantaranya yang taknol, sedemikian sehingga k₁v₁ + k₂v₂ + ... + k_mv_m = 0. Hal ini kontradiksi dengan kebebasan linear dari S = {v₁, v₂, ..., v_n}, sehingga pengandaian harus diingkar.

∴ Jadi, S' tidak merentang V ∎

Telah kita ketahui bahwa jika S = {v₁, v₂, ..., v_n} adalah sebarang basis untuk suatu vektor V, maka semua himpunan dalam V yang secara simultan merentang V dan merupakan himpunan yang bebas secara linear pasti mempunyai tepat n vektor. Jadi, semua basis untuk V harus mempunyai jumlah vektor yang sama sebagaimana sebarang basis S. Hal ini dapat dinyatakan dengan pernyataan:

"Semua basis untuk suatu ruang vektor berdimensi terhingga mempunyai jumlah vektor yang sama."

2. Dimensi

Definisi: "Dimensi suatu ruang vektor berdimensi terhingga V, yang dinyatakan dengan dim(V), didefinisikan sebagai jumlah vektor dalam suatu basis untuk V. Di samping itu, kita mendefinisikan ruang vektor nol mempunyai dimensi nol."

Tambahan: Mulai sekarang dan selanjutnya kita akan mengikuti kesepakatan umum yang menganggap himpunan kosong sebagai suatu basis untuk ruang vektor nol. Hal ini konsisten dengan definisi di atas karena himpunan kosong tidak mempunyai vektor dan ruang vektor nol mempunyai dimensi nol.

Beberapa contoh:

dim(R-n) = n

dim(P_n) = n + 1

dim(M_mn) = mn

Contoh soal:

Tentukan basis dan dimensi dari SPL homogen berikut!

2x₁ + 2x₂ – x₃ + x₅ = 0

– x₁ – x₂ + 2x₃ – 3x₄ + x₅ = 0

x₁ + x₂ – 2x₃ –  x₅ = 0

x₃ + x₄ + x₅ = 0

SPL diatas memiliki tak hingga solusi, sehingga solusi-solusinya dinyatakan dalam parameter:

x₁ = –s – t, x₂ = s, x₃ = –t, x₄ = 0, x₅ = t

Dapat juga ditulis sebagai:

(x₁, x₂, x₃, x₄, x₅) = (–s – t, s, –t, 0, t) = s(–1, 1, 0, 0, 0) + t(–1, 0, –1, 0, 1)

Hal ini menunjukkan bahwa vektor-vektor v₁ = (–1, 1, 0, 0, 0) dan v₂ = (–1, 0, –1, 0, 1) merentangkan ruang solusi.

Perhatikan vektor solusi x = (–s – t, s, –t, 0, t) yang merupakan kombinasi linear dari v₁ dan v₂.

Persamaan vektor nol dari vektor solusi adalah:

x = 0

(–s – t, s, –t, 0, t) = (0, 0, 0, 0, 0)

Andaikan s ≠ 0 ∨ t ≠ 0, kesamaan ini menjadi kesamaan yang salah, sehingga diharuskan s = 0 ∧ t = 0. Oleh karena itu v₁ dan v₂ bebas secara linear.

Dikarenakan {v₁, v₂} merentangkan ruang solusi dan bebas secara linear, {v₁, v₂} adalah suatu basis dan ruang solusinya berdimensi 2.

3. Teorema Pemindahan

Misal S adalah himpunan vektor tak kosong dalam suatu ruang vektor V, berlaku:

(a) Jika S adalah himpunan yang bebas secara linear, dan v adalah suatu vektor dalam V yang berada di luar rentang(S), maka himpunan S ∪ {v} yang dihasilkan dengan menyelipkan v ke S tetap bebas secara linear.

(b) Jika v adalah suatu vektor dalam S vang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lain dalam S, dan S – {v} menyatakan himpunan yang diperoleh dengan memindahkan v dari S, maka S dan S – {v} merentangkan ruang yang sama; yaitu rent(S) = rent(S – {v})

Perhatikan gambar berikut:

• Suatu himpunan S dari dua vektor yang bebas secara linear dalam R3 merentangkan sebuah bidang yang melalui titik asal. Jika kita memperbesar S dengan menyelipkan sebarang vektor v di luar bidang ini, maka himpunan tiga vektor yang dihasilkan tetap bebas secara linear karena tidak satu pun dari ketiga vektor tersebut yang terletak pada bidang yang sama dengan dua yang lainnya.

• Jika S adalah suatu himpunan tiga vektor non kolinear dalam R3 yang terletak pada suatu bidang yang sama yang melalui titik O, maka ketiga vektor tersebut merentangkan bidang yang sama. Akan tetapi, jika kita pindahkan dari S sembarang vektor v yang merupakan suatu kombinasi linear dari dua lainnya, himpunan dua vektor yang masih ada tetap merentang bidang yang sama.

4. Kasus Khusus: Disjungsi Persyaratan

Secara umum, untuk menunjukkan bahwa suatu himpunan vektor-vektor {v₁, v₂, ..., v_n} adalah suatu basis untuk suatu ruang vektor V kita harus menunjukkan bahwa vektor-vektor tersebut bebas secara linear dan merentangkan V. Akan tetapi, jika kita ingin mengetahui bahwa V berdimensi n (Sehingga {v₁, v₂, ..., v_n} mengandung jumlah vektor yang tepat untuk suatu basis), maka kita cukup memeriksa salah satu dari kebebasan linear atau rentang—syarat lainnya akan secara otomatis terpenuhi.

Teorema: "Jika V adalah suatu ruang vektor berdimensi n, dan S adalah suatu himpunan dalam V dengan tepat n vektor, maka S adalah suatu basis untuk V jika S merentang V atau S bebas secara linear."

5. Pemindahan yang Tepat

Misal S adalah suatu himpunan terhingga vektor-vektor dalam suatu ruang vektor berdimensi terhingga V.

(a) Jika S merentang V, tetapi bukan merupakan basis untuk V, maka S dapat direduksi menjadi suatu basis untuk V dengan menghilangkan vektor yang tepat dari S. 

(b) Jika S adalah suatu himpunan yang bebas secara linear yang belum menjadi suatu basis untuk V, maka S dapat diperbesar menjadi basis untuk V dengan menyelipkan vektor-vektor yang tepat ke dalam S.

6. Hubungan Dimensi dengan Subruang

Jika W adalah suatu subruang dari ruang vektor berdimensi terhingga V, maka dim(W) < dim(V); lebih jauh, jika dim(W) = dim(V), maka W = V.

Ilustrasi untuk R3: