Kebebasan Linear Fungsi

1. Determinan Wronskian

Jika f₁ = f₁(x), f₂ = f₂(x), ..., f_n = f_n(x) adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan n – 1 kali pada selang (–∞, ∞), maka determinan dari

disebut determinan Wronskian dari f₁, f₂, ..., f_n. Determinan ini dapat digunakan untuk memastikan apakah fungsi-fungsi yang diberikan bebas linear.

2. Hubungan Determinan Wronskian dengan Kebebasan Linear Fungsi

Teorema: "Diberikan fungsi f₁, f₂, ..., f_n mempunyai n – 1 turunan yang kontinu pada selang (–∞, ∞). Jika Wronskian dari fungsi-fungsi ini tidak sama dengan nol pada (–∞, ∞), maka fungsi-fungsi ini bebas secara linear."

Bukti:

Kontraposisi: Jika fungsi-fungsi f₁, f₂, ..., f_n yang mempunyai n – 1 turunan yang kontinu pada selang (–∞, ∞) tidak bebas secara linear, maka Wronskian dari fungsi-fungsi ini sama dengan nol pada (–∞, ∞).

Diberikan fungsi-fungsi f₁, f₂, ..., f_n yang mempunyai n – 1 turunan yang kontinu pada selang (–∞, ∞) tidak bebas secara linear. Berarti ada skalar-skalar k₁, k₂, ..., k_r dengan diantaranya ada yang taknol sedemikian sehingga:

k₁f₁(x) + k₂f₂(x) + ... + k_nf_n(x) = 0, ∀x ∈ (–∞, ∞)

apabila persamaan ini terus diturunkan sebanyak n – 1 kali, akan terbentuk SPL homogen berikut:

bentuk matriks dari SPL ini adalah:

Ketidakbebasan linear dari f₁, f₂, ..., f_n mengakibatkan SPL homogen ini memiliki solusi non-trivial untuk setiap x di (–∞, ∞). Hal ini mengharuskan matriks koefisiennya tidak dapat dibalik, sehingga determinannya (Wronskian) nol. ■

Catatan: Teorema ini tidak berlaku kebalikan. Jika Wronskian dari f₁, f₂, ..., f_n adalah nol, maka tidak dapat dipastikan kebebasan linear dari {f₁, f₂, ..., f_n}; fungsi-fungsi ini bisa jadi bebas linear bisa jadi tidak bebas linear.