Kebebasan Linear Vektor

Suatu himpunan vektor S = {v₁, v₂, ..., v_r} merentangkan suatu ruang vektor V yang diberikan jika setiap vektor dalam V dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S. Secara umum, mungkin ada lebih dari satu cara untuk menyatakan suatu vektor dalam V sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor dalam suatu himpunan rentang. Pada artikel ini kita akan mempelajari syarat-syarat di mana setiap vektor dalam V dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor rentang dalam tepat satu cara. Himpunan-himpunan rentang dengan sifat ini memainkan peran mendasar dalam telaah ruang-ruang vektor.

1. Kebebasan Linear

Definisi: Jika S = {v₁, v₂, ..., v_r} adalah suatu himpunan vektor-vektor tak kosong, maka persamaan vektor

k₁v₁ + k₂v₂ + ... + k_rv_r = 0

mempunyai paling sedikit satu penyelesaian, yaitu

HP: {k₁, k₂, ..., k_r} = {0, 0, ..., 0}

Jika ini adalah satu-satunya penyelesaian, maka S disebut suatu himpunan yang bebas secara linear. Jika ada penyelesaian-penyelesaian lainnya, maka S disebut himpunan yang tak bebas secara linear.

Ingat kembali himpunan vektor-vektor satuan standar

S = {i, j, k}, persamaan vektor nol nya adalah:

k₁i + k₂j + k₃k = 0

k₁(1, 0, 0) + k₂(0, 1, 0) + k₃(0, 0, 1) = (0, 0, 0)

(k₁, k₂, k₃) = (0, 0, 0)

HP: {k₁, k₂, k₃} = {0, 0, 0}

Jadi, himpunan vektor-vektor satuan standar bebas linear.

Pada umumnya, menyelidiki kebebasan linear suatu himpunan vektor seperti menyelesaikan sistem persamaan linear homogen yang mana {0, 0, ..., 0} merupakan solusi, dan bisa jadi ada solusi lain.

2. Kebebasan Linear dan Kombinasi Linear

Suatu himpunan S dengan dua atau lebih vektor disebut: 

(a) Tak bebas secara linear jika dan hanya jika paling tidak salah satu vektor dalam S dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya dalam S. 

(b) Bebas secara linear jika dan hanya jika tidak ada vektor dalam S yang dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor- vektor lain dalam S.

Misal S = {v₁, v₂, ..., v_r} himpunan dengan dua atau lebih vektor. Misal S tidak bebas secara linier, berarti ada skalar-skalar k₁, k₂, ..., k_r dengan ada diantaranya yang taknol, sedemikian sehingga:

k₁v₁ + k₂v₂ + ... + k_rv_r = 0

Misal k₁ ≠ 0, persamaan k₁v₁ + k₂v₂ + ... + k_rv_r = 0 dapat dibagi dengan k₁ menjadi:

akibatnya v₁ merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor lain. Apabila ada skalar lain yang taknol, akan mengakibatkan hal yang sama.

Misal v₁ merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor lain:

v₁ = c₂v₂ + ... + c_rv_r 

v₁ – c₂v₂ – ... – c_rv_r = 0

sehingga persamaan k₁v₁ + k₂v₂ + ... + k_rv_r = 0 memiliki himpunan penyelesaian

HP: {k₁, k₂, ..., k_r} = {1, –c₂, ..., –c_r} ≠ {0, 0, ..., 0}

Apabila ada vektor lain yang juga merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor lain, akan terjadi hal yang sama.

3. Vektor Nol dan Pergandaan Skalar

A. Suatu himpunan vektor terhingga yang berisi vektor nol tak bebas secara linear.

Bukti:

Misal himpunan S = {v₁, v₂, ..., v_r, 0}, memiliki anggota vektor nol, tentu saja berlaku:

0v₁ + 0v₂ + ... + 0v_r + c0 = 0

Berapapun nilai c, selalu terpenuhi persamaan tersebut, baik c = 0 maupun c ≠ 0. Itu artinya ada skalar c ≠ 0 yang memenuhi persamaan tersebut, sehingga tidak bebas secara linear.

B. Suatu himpunan dengan tepat dua vektor bebas secara linear jika dan hanya jika vektor yang satu bukan merupakan penggandaan skalar dari vektor lainnya.

Bukti:

(i) Jika vektor yang satu bukan merupakan penggandaan skalar dari vektor lainnya maka suatu himpunan dengan tepat dua vektor bebas secara linear.

Misal himpunan S = {u, v} dengan v bukan pergandaan skalar dari u.

(∀c). v ≠ cu

≡ (∀c). v – cu ≠ 0

≡ ~[(∃c). v – cu = 0]

≡ ~[HP:{1, –c} ≠ {0, 0}]

≡ ~[S tidak bebas secara linear]

≡ S bebas secara linear ■

(ii) Jika suatu himpunan dengan tepat dua vektor bebas secara linear maka vektor yang satu bukan merupakan penggandaan skalar dari vektor lainnya.

Kontraposisi: Jika vektor yang satu merupakan penggandaan skalar dari vektor lainnya maka suatu himpunan dengan tepat dua vektor tidak bebas secara linear.

Misal himpunan S = {u, v} dengan v pergandaan skalar dari u.

(∃c). v = cu

≡ (∃c). v – cu = 0

≡ HP: {1, –c} ≠ {0, 0}

≡ S tidak bebas secara linear ■

4. Interpretasi Geometrik dari Kebebasan Linear

Kebebasan linear mempunyai suatu interpretasi geometrik dalam R2 dan R3: 

• Dalam R2 atau R3, suatu himpunan dua vektor bebas secara linear jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut tidak terletak pada garis yang sama jika keduanya ditempatkan dengan titik-titik pangkalnya di titik O.

Dua vektor bebas secara linear jika dan hanya jika tidak satupun dari vektor tersebut yang merupakan pergandaan skalar dari vektor lainnya. Secara geometris, ini setara dengan menyatakan bahwa vektor-vektor tersebut tidak terletak pada garis yang sama jika diposisikan dengan titik-titik pangkalnya di O.

• Dalam R3, suatu himpunan tiga vektor bebas secara linear jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut tidak terletak pada bidang yang sama jika ketiganya ditempatkan dengan titik-titik pangkalnya pada titik O(0, 0, 0).

Tiga vektor bebas secara linear jika dan hanya jika tidak satu pun dari vektor tersebut yang merupakan kombinasi linear dari dua vektor lainnya. Secara geometris, ini setara dengan menyatakan bahwa tak satu pun dari vektor tersebut yang terletak pada bidang yang sama dengan dua vektor lainnya, atau dengan kata lain, bahwa ketiga vektor tersebut tidak terletak pada bidang yang sama jika ketiganya diletakkan dengan titik-titik pangkalnya pada titik asal.

5. Ketidakbebasan Linear dan Banyak Vektor di R-n

Anggap S = {v₁, v₂, ..., v_r} adalah suatu himpunan vektor-vektor dalam R-n. Jika r > n, maka S tak bebas secara linear.

misal:

v₁ = (v₁₁, v₁₂, ..., v_1n)

v₂ = (v₂₁, v₂₂, ..., v_2n)

 ⋮

v_r = (v_r1, v_r2, ..., v_rn)

Persamaan vektornya adalah:

k₁v₁ + k₂v₂ + ... + k_rv_r = 0

k₁(v₁₁, v₁₂, ..., v_1n) + k₂(v₂₁, v₂₂, ..., v_2n) + ... + k_r(v_r1, v_r2, ..., v_rn) = (0, 0, ..., 0)

dapat disusun menjadi suatu SPL homogen sebagai berikut:

v₁₁k₁ + v₂₁k₂ + ... + v_r1k_r = 0

v₁₂k₁ + v₂₂k₂ + ... + v_r2k_r = 0

 ⋮

v_1nk₁ + v_2nk₂ + ... + v_rnk_r = 0

Ini adalah SPL homogen dengan n persamaan dan r variabel. Ingat kembali bahwa:

"Jika suatu SPL homogen memiliki variabel lebih banyak dari persamaan maka mempunyai solusi non-trivial".

Dikarenakan SPL homogen yang terbentuk memiliki variabel lebih banyak dari persamaan, SPL homogen tersebut memiliki solusi non-trivial. Dengan kata lain, ada HP selain {0, 0, ..., 0}, sehingga himpunan S tidak bebas linear.