Keortogonalan dan Notasi Alternatif Vektor dalam R-n

1. Keortogonalan

Definisi: Dua vektor u dan v dalam R-n disebut ortogonal jika u ∙ v = 0

Perhatikan gambar berikut:

Kedua vektor yang ortogonal berlaku teorema Pythagoras, simak uraian berikut:

‖u + v‖² = (u + v) ∙ (u + v) = ‖u‖² + ‖v‖² + 2(u ∙ v), dikarenakan u ∙ v = 0, berlaku ‖u + v‖² = ‖u‖² + ‖v‖².

2. Notasi Alternatif untuk Vektor-Vektor dalam R-n

Suatu vektor u = (u₁, u₂, ..., u_n) dalam R-n dapat juga ditulis dalam notasi matriks sebagai suatu matriks berukuran n × 1 maupun matriks berukuran 1 × n.

Penjumlahan vektor dan perkalian skalar untuk bentuk matriks berukuran n × 1

Penjumlahan vektor dan perkalian skalar untuk bentuk matriks berukuran 1 × n

3. Rumus Matriks untuk Perkalian Titik

Misal dinotasikan dua vektor u dan v sebagai:

dan menghilangkan kurung pada matriks 1 × 1, didapatkan bahwa:

Jadi, untuk vektor-vektor dalam notasi matriks kolom kita mempunyai rumus berikut ini untuk hasil kali dalam Euclides: 

u ∙ v = v^Tu

Jika A matriks n × n, maka kita dapatkan bahwa:

Au ∙ v = v^T(Au) = (v^TA)u = (A^Tv)^Tu = u ∙ A^Tv

u ∙ Av = (Av)^Tu = (v^TA^T)u = v^T(A^Tu) = A^Tu ∙ v

Rumus-rumus yang dihasilkan

Au ∙ v = u ∙ A^Tv

u ∙ Av = A^Tu ∙ v

memberikan suatu hubungan penting antara perkalian dengan suatu matriks dan transpose.