Momen (Stadas)

Definisi: Momen dapat diartikan sebagai harga harapan dari data 𝑋 yang dipangkatkan r.

Misalkan diberikan variabel 𝑥 dengan nilai-nilai x₁, x₂, …, x_n. Jika 𝐴 adalah suatu konstanta dan 𝑟 = 0, 1, 2, …, 𝑛, maka Momen ke-r disekitar A, yaitu m_r', didefinisikan sebagai berikut:

Catatan: Rerata dan Variansi merupakan hal khusus dari kelompok ukuran lain yang disebut Momen. Nilai 𝐴 dan 𝑟 dapat disesuaikan sehingga pada kasus-kasus khusus akan menjadi nilai dari ukuran pemusatan (Rata-rata) atau penyebaran (Variansi).

1. Momen Non-Sentral

Jika nilai A = 0 maka momen ke-r disekitar A = 0 (disebut momen ke-𝑟 terhadap titik asal O atau momen nonsentral ke-r) didefinisikan sebagai berikut:

Beberapa momen non-sentral pertama:

➢ Momen non-sentral ke-1 di sekitar titik O:

Momen ke-1 ini disebut sebagai rerata.
➢ Momen non-sentral ke-2 di sekitar titik O:

➢ Momen non-sentral ke-3 di sekitar titik O:

dan seterusnya...

2. Momen Sentral

Jika nilai A = x ̅ maka momen ke-r disekitar A = x ̅  (disebut momen ke-𝑟 disekitar rata-rata atau momen sentral ke-r) didefinisikan sebagai berikut :

Beberapa momen sentral pertama:

➢ Momen sentral ke-1 di sekitar rerata:

Momen sentral ke-1 ini bernilai nol, ingat kembali definisi rerata.

➢ Momen sentral ke-2 di sekitar rerata:

Momen sentral ke-2 inilah yang disebut sebagai variansi.
➢ Momen sentral ke-3 di sekitar rerata:

dan seterusnya...

3. Hubungan Momen Sentral dengan Momen Non-Sentral

Jika m_r' adalah momen non-sentral ke-r dan m_r adalah momen sentral ke-r, maka berikut ini hubungan antara momen sentral dengan momen non-sentral:

➢ Untuk r = 1:

Ingat kembali rerata, jelas bahwa m₁ = 0.

➢ Untuk r = 2:

m₂ = m₂' – (m₁')²     

➢ Untuk r = 3:

m₃ = m₃' – 3.m₂'.m₁' + 2(m₁')³     

➢ Untuk r = 4:

m₄ = m₄' – 4.m₃'.m₁' + 6.m₂'.(m₁')² – 3(m₁')⁴    

Secara umum, hubungan momen sentral dengan momen non-sentral adalah:

4. Momen Data Berkelompok

Jika data telah disusun kedalam tabel dsitribusi frekuensi, dengan  dan x_i menyatakan tanda kelas interval, dan f_i menyatakan frekuensi yang sesuai dengan x_i, maka momennya adalah

• Momen ke-r di sekitar A

• Momen non-sentral

• Momen sentral

contoh soal:
Tentukan momen non-sentral dan momen sentral kedua dari data berikut:

Hitung rerata yang akan digunakan untuk menentukan momen sentral

rerata = 3950/100 = 39,5

Berikut tabel perhitungannya

Momen non-sentral kedua dari data tersebut adalah 170525/100 = 1705,25
Momen sentral kedua dari data tersebut adalah 14500/100 = 145

5. Jenis Rerata dan Momen

A. Rerata Aritmatika

Rerata aritmatika sama dengan momen ke-1 non-sentral.

B. Rerata Geometri
Tidak ada momen yang sama dengan rerata geometri karena momen merupakan penjumlahan sedangkan rerata geometri merupakan rerata perkalian.

C. Rerata Harmonik

Rerata harmonik sama dengan resiprokal dari momen ke-(–1).

D. Rerata Kuadrat

Rerata kuadrat sama dengan akar dari momen ke-2 non-sentral.