Norma dan Jarak dalam Ruang Berdimensi-n Euclides

Berdasarkan analogi dengan rumus-rumus di R2 dan R3, didefinisikan norma Euclides (atau panjang Euclides) dari suatu vektor u = (u₁, u₂, ..., u_n) dalam R-n sebagai:

Begitu juga dengan jarak Euclides antara titik u = (u₁, u₂, ..., u_n) dan v = (v₁, v₂, ..., v_n) dalam R-n didefinisikan sebagai:

1. Ketaksamaan Cauchy-Schwarts

Misal diberikan u = (u₁, u₂, ..., u_n) dan v = (v₁, v₂, ..., v_n) vektor-vektor dalam R-n, berlaku:

|u ∙ v| ≤ ‖u‖‖v‖

dapat juga dinyatakan dalam bentuk komponen sebagai:

Ingat kembali bahwa |u ∙ v| = ‖u‖‖v‖|cosθ| ≤ ‖u‖‖v‖, hal ini berlaku karena |cosθ| ≤ 1

2. Sifat-Sifat Norma Vektor

Misal diberikan u dan v vektor-vektor dalam R-n dan k sebarang skalar, berlaku:

a) ‖u‖ ≥ 0

b) ‖u‖ = 0 jika dan hanya jika u = 0

c) ‖ku‖ = |k|‖u‖

d) ‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖    (Ketaksamaan segitiga)

Kuadratkan ruas kiri menjadi:

‖u + v‖² = (u + v) ∙ (u + v) = (u ∙ u) + 2(u ∙ v) + (v ∙ v) = ‖u‖² + ‖v‖² + 2(u ∙ v)

‖u + v‖² = ‖u‖² + ‖v‖² + 2(u ∙ v) ≤ ‖u‖² + ‖v‖² + 2|u ∙ v| ≤ ‖u‖² + ‖v‖² + 2‖u‖‖v‖ = (‖u‖ + ‖v‖)²

‖u + v‖² ≤ (‖u‖ + ‖v‖)², akarkan kedua ruas

∴ ‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖

Ilustrasi:

3. Sifat-Sifat Jarak Euclides

Misal diberikan u, v, w vektor-vektor dalam R-n dan k sebarang skalar, berlaku:

a) d(u, v) ≥ 0

b) d(u, v) = 0 jika dan hanya jika u = v

c) d(u, v) = d(v, u)

d) d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v)

Perhatikan:

d(u, v) = ‖u – v‖ = ‖(u – w) + (w – v)‖ ≤ ‖u – w‖ + ‖w – v‖ = d(u, w) + d(w, v)

d(u, v) = d(u, w) + d(w, v)

Ilustrasi:

4. Selisih Kuadrat

Misal diberikan u dan v vektor-vektor dalam R-n, berlaku:

u ∙ v = ¼(‖u + v‖² – ‖u – v‖²)

Ingat kembali bahwa:

‖u + v‖² = (u + v) ∙ (u + v) = ‖u‖² + ‖v‖² + 2(u ∙ v)

‖u – v‖² = (u – v) ∙ (u – v) = ‖u‖² + ‖v‖² – 2(u ∙ v)

kurangkan kedua persamaan diperoleh ‖u + v‖² – ‖u – v‖² = 4(u ∙ v)

bagi masing-masing ruas dengan 4 diperoleh u ∙ v = ¼(‖u + v‖² – ‖u – v‖²)