Operasi Vektor dan Hasil Kali Dalam Euclides

1. Sifat-Sifat Operasi Vektor dalam Ruang Berdimensi-n

Misal u, v, w merupakan vektor-vektor dalam R-n, dan k, l merupakan skalar, berlaku sifat-sifat operasi berikut:

a) Sifat komutatif

u + v = v + u

b) Sifat asosiatif penjumlahan vektor

u + (v + w) = (u + v) + w

c) Sifat identitas penjumlahan vektor

u + 0 = 0 + u = u

d) Sifat negatif

u + (−u) = 0, sehingga u − u = 0

e) Sifat asosiatif perkalian skalar

k(lu) = (kl)u

f) Sifat distributif terhadap jumlah vektor

k(u + v) = ku + kv

g) Sifat distributif terhadap jumlah skalar

(k + l)u = ku + lu

h) Sifat identitas perkalian skalar

1u = u

2. Hasil Kali Dalam Euclides

Misal u = (u₁, u₂, ..., u_n) dan v = (v₁, v₂, ..., v_n) sebarang vektor dalam R-n, hasil kali dalam Euclides u ∙ v didefinisikan sebagai u₁v₁ + u₂v₂ + ... + u_nv_n.

Sifat-Sifat Hasil Kali Dalam Euclides:

a) Sifat Komutatif

u ∙ v = v ∙ w

b) Sifat Distributif

(u + v) ∙ w = u ∙ w + v ∙ w

c) Sifat Asosiatif

(ku) ∙ v = k(u ∙ v)

d) Sifat Non-Negatif

v ∙ v ≥ 0

lebih lanjut v ∙ v = 0 jika dan hanya jika v = 0.

Mengapa hasil kali dalam Euclides vektor dengan dirinya sendiri tidak mungkin negatif? Ingat kembali definisi hasil kali dalam Euclides, yaitu jumlah dari hasil kali komponen-komponen yang seletak. Dikarenakan vektor yang dikalikan sama, hasil kali dalamnya merupakan jumlah dari bilangan-bilangan kuadrat, sehingga mustahil negatif.

Lebih lanjut lagi untuk kasus dimana vektor yang dikalikan merupakan vektor nol, hasil kali dalamnya merupakan jumlah dari bilangan-bilangan nol sehingga menghasilkan nol.

Sedangkan vektor taknol, hasil kali dalamnya merupakan jumlah dari bilangan-bilangan kuadrat dimana terdapat bilangan kuadrat tak nol, sehingga menghasilkan bilangan positif.