Persamaan Garis Kutub Parabola

Perhatikan gambar berikut:

Misal titik A diluar parabola, jika dibuat garis singgung parabola melalui titik A akan diperoleh 2 garis singgung yang masing-masing menyinggung parabola di titik B dan C. Garis yang melalui B dan C disebut garis kutub.

1. Persamaan Garis Kutub Parabola y² = 2px

• Misalkan garis singgung dari A(x₁, y₁) menyinggung parabola di titik B(x₂, y₂) dan C(x₃, y₃)

• Garis tersebut melalui B pada parabola, sehingga persamaan garis singgungnya adalah:

yy₂ = p(x + x₂)

dikarenakan garis tersebut juga melalui A, persamaannya menjadi:

y₁y₂ = p(x₁ + x₂) ...(i)

• Garis tersebut melalui C pada parabola, sehingga persamaan garis singgungnya adalah:

yy₃ = p(x + x₃)

dikarenakan garis tersebut juga melalui A, persamaannya menjadi:

y₁y₃ = p(x₁ + x₃) ...(ii)

• Dari (i) dan (ii) diperoleh:

y₁y₂ = p(x₁ + x₂) ...(i)

y₁y₃ = p(x₁ + x₃) ...(ii)

y₁₍y₂ – y₃₎ = p(x₂ – x₃)

• Persamaan garis melalui B dengan gradien garis yang melalui B dan C

y₁₍y – y₂₎ = p(x – x₂)

yy₁ – y₁y₂ = p(x – x₂), ingat kembali (i)

yy₁ – p(x₁ + x₂) = p(x – x₂)

yy₁ = p(x – x₂ + x₁ + x₂)

yy₁ = p(x + x₁)

Jadi, persamaan garis kutub parabola y² = 2px dari A(x₁, y₁) diluar parabola adalah yy₁ = p(x + x₁)

2. Persamaan Garis Kutub Parabola (y – β)² = 2p(x – α)

Untuk parabola (y – β)² = 2p(x – α) persamaan garis kutubnya adalah (y – β)(y₁ – β) = p(x + x₁ –  2α)

3. Persamaan Garis Kutub Parabola x² = 2py

Untuk parabola x² = 2py persamaan garis kutubnya adalah xx₁ = p(y + y₁)

4. Persamaan Garis Kutub Parabola (x – α)² = 2p(y – β)

Untuk parabola (x – α)² = 2p(y – β) persamaan garis kutubnya adalah (x – α)(x₁ – α) = p(y + y₁ –  2β)

5. Persamaan Garis Singgung Parabola dari Titik P(x₁, y₁) diluar parabola

Misalkan garis singgung menyinggung parabola di titik Q(x₂, y₂) dan R(x₃, y₃). Karena tidak ada rumus khusus dalam masalah ini, langkah-langkah menentukan persamaan garis singgung dapat dilakukan dengan:

1. Menentukan persamaan garis kutub QR dalam y = mx + n.

2. Mensubtitusikan persamaan garis kutub ke persamaan parabola. Diperoleh persamaan kuadrat dalam variabel x.

3. Selesaikan persamaan kuadrat, akan diperoleh 2 nilai x yang merupakan absis dari titik singgung.

4. Subtitusi nilai x ke persamaan garis kutub QR (bukan ke persamaan parabola). Diperoleh 2 nilai y yang merupakan ordinat dari titik singgung.

5. Selanjutnya, menentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan persamaan garis singgung melalui titik pada parabola.