Persamaan Garis Singgung Parabola

1. Persamaan Garis Singgung Bergradien m

A. Untuk Parabola y² = 2px

• Misal persamaan garis singgungnya y = mx + n

• Potongkan dengan parabola

(mx + n)² = 2px

m²x² + 2mnx + n² – 2px = 0

m²x² + (2mn – 2p)x + n² = 0

Garis tersebut memotong parabola di satu titik, diharuskan diskriminannya nol

(2mn – 2p)² – 4m²n² = 0

4m²n² – 8mnp + 4p² – 4m²n² = 0

– 8mnp + 4p² = 0

– 2mn + p = 0

Persamaan garis singgungnya adalah:

B. Untuk Parabola (y – β)² = 2p(x – α)

C. Untuk Parabola x² = 2py

• Misal persamaan garis singgungnya y = mx + n

• Potongkan dengan parabola

x² = 2p(mx + n)

x² = 2pmx + 2pn

x² – 2pmx – 2pn = 0

Garis tersebut memotong parabola di satu titik, diharuskan diskriminannya nol

(–2pm)² – 4.1.(–2pn) = 0

4m²p² + 8pn = 0

m²p + 2n = 0

Persamaan garis singgungnya adalah:

D. Untuk parabola (x – α)² = 2p(y – β)

2. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik P(x₁, y₁) pada Parabola

A. Untuk Parabola y² = 2px

• Parabola melalui P(x₁, y₁), berlaku y₁² = 2px₁

• Misal persamaan garis singgungnya y = mx + n

• Karena melalui P, berlaku y₁ = mx₁ + n ↔ n = y₁ – mx₁

• Potongkan dengan parabola

(mx₁ + n)² = 2px₁

m²x₁² + 2mnx₁ + n² – 2px₁ = 0

m²x₁² + (2mn – 2p)x₁ + n² = 0

• Karena menyinggung akarnya kembar, berlaku:

• Persamaan garis singgungnya adalah

yy₁ – y₁² = p(x – x₁)

yy₁ – 2px₁ = px – px₁

yy₁ = px + px₁

yy₁ = p(x + x₁)

Jadi, persamaan garis singgung melalui titik P(x₁, y₁) parabola y² = 2px adalah yy₁ = p(x + x₁)

B. Untuk Parabola (y – β)² = 2p(x – α)

(y – β)(y₁ – β) = p(x + x₁ –  2α)

C. Untuk Parabola x² = 2py

• Parabola melalui P(x₁, y₁), berlaku x₁² = 2py₁

• Misal persamaan garis singgungnya y = mx + n

• Karena melalui P, berlaku y₁ = mx₁ + n ↔ n = y₁ – mx₁

• Potongkan dengan parabola

x₁² = 2p(mx₁ + n)

x₁² = 2pmx₁ + 2pn

x₁² – 2pmx₁ – 2pn = 0

• Karena menyinggung akarnya kembar, berlaku:

• Persamaan garis singgungnya adalah:

xx₁ – x₁² = p(y – y₁)

xx₁ – 2py₁ = py – py₁

xx₁ = py + py₁

xx₁ = p(y + y₁)

D. Untuk Parabola (x – α)² = 2p(y – β)

(x – α)(x₁ – α) = p(y + y₁ –  2β)

Tabel persamaan garis singgung parabola