Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Nol

1. Vektor Baris dan Vektor Kolom

Diberikan matriks A berukuran m × n

vektor-vektor

dalam R-n yang dibentuk dari baris-baris A disebut vektor-vektor baris dari A,

dan vektor-vektor

dalam R-m yang dibentuk dari kolom-kolom A disebut vektor-vektor kolom dari A. 

2. Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Nol

Definisi: "Jika A adalah suatu matriks m × n, maka subruang dari R-n yang terentang oleh vektor-vektor baris dari A disebut ruang baris dari A, dan subruang dan R-m yang terentang oleh vektor-vektor kolom disebut ruang kolom dari A, ruang solusi dari sistem persamaan homogen Ax = 0, yang merupakan suatu subruang dari R-n, disebut ruang nol dari A."

Diberikan matriks A dan vektor x sebagai berikut:

Hasil kali Ax adalah:

Dapat juga ditulis sebagai:

Kita mendapati bahwa hasil kali Ax dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor kolom ini dengan koefisien dari x; yaitu:

Ax = x₁c₁ + x₂c₂ + … + x_nc_n 

Jadi, suatu sistem linear, Ax = b, dari m persamaan dalam n variabel dapat ditulis sebagai:

x₁c₁ + x₂c₂ + … + x_nc_n = b

dari persamaan ini kita simpulkan bahwa Ax = b konsisten jika dan hanya jika b dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor kolom dari A atau, secara ekuivalen, jika dan hanya jika b berada dalam ruang kolom A. Hal ini dapat dinyatakan sebagai:

"Suatu sistem persamaan linear Ax = b konsisten jika dan hanya jika b berada dalam ruang kolom A"

3. Hubungan antara solusi Ax = 0 dan Ax = b

Teorema: Jika x₀ menyatakan sembarang solusi tunggal dari suatu sistem linear tak homogen yang konsisten Ax = b, dan jika v₁, v₂, ..., v_k membentuk suatu basis untuk ruang nol A, yaitu ruang solusi dari sistem homogen Ax = 0, maka setiap solusi dari Ax = b dapat dinyatakan dalam bentuk

x = x₀ + c₁v₁ + c₂v₂ + … + c_kv_k,

dan sebaliknya, untuk semua pilihan skalar c₁, c₂, ..., c_n vektor x dalam rumus ini merupakan suatu solusi dari Ax = b.

Bukti:

(i) Diberikan x₀ adalah sembarang solusi tetap dari Ax = b, dan x sembarang solusi, sehingga:

Ax₀ = b dan Ax = b

Kurangkan keduanya menjadi:

Ax₀ – Ax = 0, faktorkan menjadi:

A(x – x₀) = 0

yang menunjukkan bahwa x – x₀ adalah solusi dari sistem homogen Ax = 0.

Karena v₁, v₂, ..., v_k adalah suatu basis untuk ruang solusi dari sistem ini, kita dapat menyatakan x – x₀ sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor ini

x – x₀ = c₁v₁ + c₂v₂ + … + c_kv_k 

x = x₀ + c₁v₁ + c₂v₂ + … + c_kv_k 

(ii) Untuk semua pilihan skalar c₁, c₂, ..., c_n kita dapatkan:

x = x₀ + c₁v₁ + c₂v₂ + … + c_kv_k, kalikan masing-masing ruas dengan A:

Ax = A(x₀ + c₁v₁ + c₂v₂ + … + c_kv_k), sebarkan

Ax = Ax₀ + c₁(Av₁) + c₂(Av₂) + ... + c_k(Av_k)

Dikarenakan x₀ solusi dari sistem tak homogen dan v₁, v₂, ..., v_k adalah solusi dari sistem homogen, persamaan terakhir menjadi:

Ax = b + 0 + 0 + ... + 0 = b

yang menunjukkan bahwa x adalah penyelesaian dari Ax = b. ■

4. Solusi Umum dan Solusi Khusus

Misal vektor x₀ merupakan solusi khusus dari Ax = b. Bentuk x₀ + c₁v₁ + c₂v₂ + … + c_kv_k merupakan solusi umum dari Ax = b, sedangkan bentuk c₁v₁ + c₂v₂ + … + c_kv_k merupakan solusi umum dari Ax = 0. Dengan ini, solusi umum dari Ax = b adalah penjumlahan dari sembarang solusi khusus dari Ax = b dan solusi umum dari Ax = 0.

Untuk sistem linear dengan dua atau tiga variabel, interpretasi geometrinya cukup bagus dalam R² dan R³. Misalkan suatu kasus di mana Ax = 0 dan Ax = b adalah sistem linear dengan dua variabel. Solusi dari Ax = 0 membentuk sebuah subruang dari R² dan karenanya merupakan garis yang melalui titik O, hanya titik O, atau seluruh R². Solusi dari Ax = b dapat diperoleh dengan menambahkan sembarang solusi khusus dari Ax = b, misalkan x₀, ke solusi dari Ax = 0. Dengan asumsi bahwa x₀ diposisikan dengan titik awalnya di titik asal, hal ini memiliki efek geometrik menggeser ruang solusi dari Ax = 0, sehingga titik asal dipindahkan ke ujung x₀. Ini berarti bahwa vektor-vektor solusi dari Ax = b membentuk garis melalui ujung x₀, titik di ujung x₀, atau seluruh R².

Demikian pula, untuk sistem linear dengan tiga variabel, solusi dari Ax = b membentuk bidang melalui ujung sembarang solusi khusus x₀, garis melalui ujung x₀, titik di ujung x₀, atau seluruh R³.