Ruang Vektor Umum

Anggap V adalah sembarang himpunan tak kosong dari objek di mana dua operasi didefinisikan, yaitu penjumlahan dan perkalian dengan skalar (bilangan). Penjumlahan yang kita maksud adalah suatu aturan yang menghubungkan setiap pasangan objek u dan v dalam V dengan suatu objek u + v, yang disebut sebagai jumlah u dan v; yang kita maksud dengan perkalian skalar adalah suatu aturan yang menghubungkan setiap skalar k dan setiap objek u dalam V dengan objek ku, yang disebut perkalian skalar dari u dengan k. Jika aksioma berikut ini dipenuhi oleh semua objek u, v, w dalam V dan semua skala k dan l, maka kita sebut V sebagai ruang vektor dan kita sebut objek dalam V sebagai vektor.

1. Jika u dan v objek-objek dalam V maka u + v juga dalam V

u, v ∈ V ⇒ u + v ∈ V

2. u + v = v + u

3. u + (v + w) = (u + v) + w

4. Ada suatu objek 0 dalam V, yang disebut suatu vektor nol untuk V, sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u dalam V.

(∃0 ∈ V) ∋ (∀u ∈ V). 0 + u = u + 0 = u

5. Untuk setiap u dalam V, ada suatu objek –u dalam V, yang disebut negatif dari u, sedemikian sehingga u + (–u) = (–u) + u = 0. 

(∀u ∈ V)(∃(–u) ∈ V) ∋ u + (–u) = (–u) + u = 0

6. Jika k adalah sembarang skalar dan u adalah sembarang objek dalam V, maka ku ada dalam V.

(∀k ∈ R)(∀u ∈ V). ku ∈ V

7. k(u + v) = ku + kv

8. (k + l)u = ku + lu

9. k(lu) = (kl)u

10. 1u = u

A. Contoh Ruang Vektor Umum

1. Ruang vektor R-n

Sebagaimana telah dibahas pada pembahasan R-n, termasuk didalamnya R1 (bilangan real), R2 (vektor pada bidang), dan R3 (vektor dalam ruang berdimensi 3), dan seterusnya.

2. Himpunan semua matriks berukuran m × n

Ambil sebarang tiga matriks u, v, dan w dengan:

penjumlahan u dan v

hasil penjumlahannya juga merupakan anggota V, dengan ini telah terlihat bahwa berlaku aksioma 1 dan aksioma 2.

penjumlahan u, v, dan w

penjumlahan u, v, w memenuhi aksioma 3.

misal diberikan vektor 0 dengan:

apabila dijumlahkan dengan u akan menghasilkan u (karena menjumlahkan 0 dengan sebarang bilangan akan menghasilkan bilangan itu sendiri), sehingga terpenuhi aksioma 4.

misal diberikan –u dengan:

bentuk ini apabila dijumlahkan dengan u akan menghasilkan 0, sehingga terpenuhi aksioma 5.
misal k dan l sebarang skalar, perkalian skalar ku:

hasil kali skalar ku juga merupakan anggota V, sehingga terpenuhi aksioma 6.

uraian ini memenuhi aksioma 7.

uraian ini memenuhi aksioma 8.

uraian ini memenuhi aksioma 9.

Ingat kembali definisi perkalian skalar, hal itu memenuhi aksioma 10.

Dikarenakan seluruh aksioma terpenuhi, himpunan semua matriks berukuran m × n merupakan ruang vektor.

3. Himpunan semua fungsi pada bilangan real

4. Himpunan titik-titik pada bidang yang melalui O(0, 0, 0)

5. Ruang vektor nol

Ruang vektor nol adalah ruang vektor yang hanya memiliki objek tunggal yaitu 0.

B. Sifat-Sifat Vektor Umum

1. 0u = 0

2. k0 = 0

3. (–1)u = –u

4. Jika ku = 0 maka k = 0 atau u = 0