Subruang (Ruang Vektor Umum)

Adalah mungkin bagi suatu ruang vektor untuk tercakup dalam ruang vektor yang lebih besar. Misalnya, telah kita tunjukkan pada bagian sebelumnya bahwa bidang-bidang yang melalui titik asal adalah ruang vektor yang tercakup dalam ruang vektor yang lebih besar R3. Pada artikel ini kita akan menelaah konsep penting ini dengan lebih mendetail.

Definisi Subruang: Suatu himpunan bagian W dari suatu ruang vektor V disebut suatu subruang dari V jika W sendiri adalah suatu ruang vektor di bawah penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V.

Teorema: W adalah suatu subruang dari V jika dan hanya jika W tertutup terhadap penjumlahan dan tertutup terhadap perkalian skalar.

1. Subruang dari R2 dan R3

A. Yang termasuk subruang dari R2 adalah:

• {0}, yang memiliki satu anggota, yaitu titik O(0, 0)

• Garis-garis yang melalui O(0, 0)

• R2

Untuk {0} dan R2 jelas merupakan subruang dari R2. Yang menarik adalah mengapa hanya garis-garis yang melalui O(0, 0) saja yang merupakan subruang dari R2, bagaimana dengan garis-garis lain?

(i) Garis-garis yang melalui O(0, 0) merupakan subruang dari R2

Garis-garis yang melalui O(0, 0) dapat dinyatakan dalam bentuk y = mx, dapat juga dinyatakan dalam bentuk parameter sebagai {(x, y) | x = t, y = mt}.

Ambil sebarang titik A(t, mt) yang terletak pada garis, ambil juga sebarang skalar k, lakukan perkalian skalar kA = k(t, mt) = (kt, mkt).

Misal kt = s, kA dapat dinyatakan sebagai (s, ms) sehingga kA terletak pada garis. Hal ini menunjukkan bahwa operasi perkalian skalar pada garis-garis yang melalui O(0, 0) bersifat tertutup.

Ambil sebarang titik A(t, mt) dan B(r, mr), lakukan penjumlahan A + B = (t + r, m(t + r)).

Misal t + r = q, A + B dapat dinyatakan sebagai (q, mq) sehingga A + B terletak pada garis. Hal ini menunjukkan bahwa operasi penjumlahan pada garis-garis yang melalui O(0, 0) bersifat tertutup.

Dikarenakan bersifat tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar, garis-garis yang melalui O(0, 0) merupakan subruang-subruang dari R2.

(ii) Garis-garis yang tidak melalui O(0, 0) bukan subruang dari R2

Garis-garis yang tidak melalui O(0, 0) dinyatakan dalam bentuk y = mx + n dengan n ≠ 0, dapat juga dinyatakan dalam bentuk parameter sebagai {(x, y) | x = t, y = mt + n}.

Misal titik C(t, mt + n) terletak pada garis, dan k skalar dengan k ≠ 1, lakukan perkalian skalar k dengan C, kC = k(t, mt + n) = (kt, mkt + kn).

Misal kt = s, kC dinyatakan sebagai (s, ms + kn), tentunya untuk k ≠ 1 berakibat kn ≠ n. Dengan kata lain, kC tidak terletak pada garis. Hal ini menunjukkan bahwa operasi perkalian skalar pada garis-garis yang tidak melalui O(0, 0) bersifat terbuka.

Dikarenakan bersifat terbuka terhadap perkalian skalar, yang mengakibatkan tidak memenuhi syarat, garis-garis yang tidak melalui O(0, 0) bukan subruang dari R2.

B. Yang termasuk subruang dari R3 adalah:

• {0}, yang memiliki satu anggota, yaitu titik O(0, 0, 0)

• Garis-garis yang melalui O(0, 0, 0)

• Bidang-bidang yang melalui O(0, 0, 0)

• R3

Secara analog dapat ditunjukkan sebagaimana pada R2, termasuk garis-garis dan bidang-bidang yang melalui O.

2. Subruang dari Himpunan Matriks Persegi

Himpunan matriks persegi memiliki subruang-subruang berikut:

• Matriks Simetris

• Matriks Segitiga Atas

• Matriks Segitiga Bawah

• Matriks Diagonal

Himpunan matriks-matriks yang termasuk jenis-jenis ini merupakan subruang dari himpunan matriks persegi karena bersifat tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar.

3. Fungsi Polinomial

Himpunan semua fungsi polinomial merupakan subruang dari himpunan semua fungsi, karena terdapat unsur nol, yaitu sumbu-x, bersifat tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar.

Selain itu, himpunan semua fungsi rasional juga merupakan subruang dari himpunan semua fungsi karena hal serupa.