Vektor Berdimensi-n

Gagasan menggunakan pasangan bilangan untuk melokasikan titik-titik pada bidang dan bilangan ganda tiga untuk melokasikan titik-titik dalam ruang berdimensi tiga telah dikemukakan secara jelas pada pertengahan abad ketujuh belas. Pada akhir abad kesembilan belas para ahli matematika dan fisika mulai menyadari bahwa kita tidak harus berhenti pada ganda tiga. Diakui bahwa bilangan-bilangan ganda empat (a₁, a₂, a₃, a₄) dapat dianggap sebagai titik-titik dalam ruang “berdimensi 4”, ganda lima (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅) sebagai titik-titik dalam ruang “berdimensi 5,” dan sebagainya. Meskipun penggambaran geometris kita tidak melebihi ruang berdimensi 3, kita dapat saja memperluas banyak gagasan serupa melebihi ruang berdimensi 3 dengan bekerja melalui sifat-sifat analitis atau numerik dari titik dan vektor dan bukannya melalui sifat-sifat geometriknya. Pada artikel ini kita akan membuat gagasan-gagasan ini lebih tepat.

1. Vektor-Vektor dalam Ruang Berdimensi n

Definisi:  Jika n adalah suatu bilangan bulat positif, maka ganda-n berurut adalah sederet n bilangan real (a₁, a₂, ..., a_n). Himpunan semua ganda-n berurut disebut ruang berdimensi-n dan dinyatakan dengan R-n.

Perhatikan gambar berikut:

Suatu ganda-n berurut (a₁, a₂, ..., a_n) dapat dipandang sebagai "titik umum" maupun "vektor umum".

Dua vektor u = (u₁, u₂, ..., u_n) dan v = (v₁, v₂, ..., v_n) dikatakan sama jika u₁ = v₁, u₂ = v₂, ..., u_n = v_n.

2. Operasi Standar (Penjumlahan dan Perkalian Skalar)

Diberikan dua vektor u = (u₁, u₂, ..., u_n) dan v = (v₁, v₂, ..., v_n) dan k sebarang skalar, berikut operasi standarnya:

A. Penjumlahan Vektor

u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂, ..., u_n + v_n)

B. Perkalian Skalar dengan Vektor

ku = (ku₁, ku₂, ..., ku_n)

3. Vektor Nol, Vektor Negatif, Selisih Vektor

A. Vektor Nol

Vektor nol adalah vektor yang semua komponennya nol. Vektor nol dalam dimensi-n dinyatakan:

0 = (0, 0, ..., 0)

B. Vektor Negatif

Misal u sebarang vektor dalam R-n, negatif (atau invers aditif) dari u dinyatakan sebagai:

–u = (–u₁, –u₂, ..., –u_n)

C. Selisih Vektor

Selisih vektor dalam R-n didefinisikan sebagai:

u – v = u + (–v) = (u₁ – v₁, u₂ – v₂, ..., u_n – v_n)