Volume Bola

A. Menentukan Volume Bola Menggunakan Prinsip Cavalieri

Perhatikan tabung dan bola dengan panjang jari-jari r, sedang tinggi tabung 2r. Akan dibandingkan volume setengah bola dengan tabung t = r.

Perhatikan setengah tabung:

Segitiga OAB sebangun dengan segitiga OPQ, berlaku perbandingan:

Misal ketinggian cincin adalah t, tinggi segitiga OAB adalah t.

Tinggi segitiga OPQ adalah R, dan alas segitiga OPQ juga R, yang merupakan jari-jari bola. Segitiga OPQ merupakan segitiga siku-siku samakaki.

Karena OAB sebangun dengan OPQ, segitiga OAB juga merupakan segitiga siku-siku samakaki, sehingga alasnya sama dengan tingginya, yaitu t.

Alas dari segitiga OAB merupakan panjang jari-jari lobang cincin, sehingga luas cincin tersebut adalah:

Luas cincin = Luas lingkaran besar - luas lingkaran kecil

= 𝜋(R² – t²)

Perhatikan setengah bola

Titik O merupakan pusat bola dan titik D pada permukaan bola, sehingga ruas garis OD merupakan jari-jari bola, boleh ditulis panjang OD adalah R.

Jika diambil ketinggian yang sama dengan cincin pada setengah tabung, panjang OC sama dengan ketinggiannya, yaitu t.

Ruas garis CD merupakan jari-jari cakram pada ketinggian tersebut.

Segitiga OCD merupakan segitiga siku-siku sehingga berlaku rumus Pythagoras:

CD² = OD² – OC² = R² – t²

Luas cakram tersebut adalah:

𝜋(CD²) = 𝜋(R² – t²)

Telah diambil sebarang ketinggian dan ternyata pada ketinggian yang sama luas penampangnya selalu sama, oleh karena itu berlaku prinsip Cavalieri:

"Jika beberapa benda tiga dimensi mempunyai tinggi dan luas penampang yang sama pada seluruh tingginya, maka benda-benda tersebut mempunyai volume yang sama."

Menurut prinsip Cavalieri, volume setengah bola sama dengan volume setengah tabung dikurangi volume kerucut.

Tambahan: Cara mudah untuk memahami prinsip Cavalieri adalah dengan memandang volume bangun ruang sebagai tumpukan koin. Tentunya jika dua tumpukan koin memiliki tinggi yang sama dan koin-koin yang bertepatan memiliki luas yang sama maka volume kedua tumpukan adalah sama.

B. Menentukan Volume Bola Menggunakan Integral

Perhatikan grafik berikut:

Suatu daerah berbentuk setengah lingkaran diputar mengelilingi sumbu x, batas-batasnya adalah x = -r dan x = r, volume benda putarnya adalah:

Ketika dihitung menggunakan integral juga menghasilkan formula yang sama.