Volume Bola

A. Menentukan Volume Bola Menggunakan Prinsip Cavalieri
Perhatikan tabung dan bola dengan panjang jari-jari r, sedang tinggi tabung 2r. Akan dibandingkan volume setengah bola dengan tabung t = r.

Perhatikan setengah tabung:
Segitiga OAB sebangun dengan segitiga OPQ, berlaku perbandingan:
Misal ketinggian cincin adalah t, tinggi segitiga OAB adalah t.
Tinggi segitiga OPQ adalah R, dan alas segitiga OPQ juga R, yang merupakan jari-jari bola. Segitiga OPQ merupakan segitiga siku-siku samakaki.
Karena OAB sebangun dengan OPQ, segitiga OAB juga merupakan segitiga siku-siku samakaki, sehingga alasnya sama dengan tingginya, yaitu t.
Alas dari segitiga OAB merupakan panjang jari-jari lobang cincin, sehingga luas cincin tersebut adalah:
Luas cincin = Luas lingkaran besar - luas lingkaran kecil
= 饾湅(R2 – t2)

Perhatikan setengah bola
Titik O merupakan pusat bola dan titik D pada permukaan bola, sehingga ruas garis OD merupakan jari-jari bola, boleh ditulis panjang OD adalah R.
Jika diambil ketinggian yang sama dengan cincin pada setengah tabung, panjang OC sama dengan ketinggiannya, yaitu t.
Ruas garis CD merupakan jari-jari cakram pada ketinggian tersebut.
Segitiga OCD merupakan segitiga siku-siku sehingga berlaku rumus Pythagoras:
CD2 = OD2 – OC2 = R2 – t2
Luas cakram tersebut adalah:
饾湅(CD2) = 饾湅(R2 – t2)

Telah diambil sebarang ketinggian dan ternyata pada ketinggian yang sama luas penampangnya selalu sama, oleh karena itu berlaku prinsip Cavalieri:
"Jika beberapa benda tiga dimensi mempunyai tinggi dan luas penampang yang sama pada seluruh tingginya, maka benda-benda tersebut mempunyai volume yang sama."
Menurut prinsip Cavalieri, volume setengah bola sama dengan volume setengah tabung dikurangi volume kerucut.
Tambahan: Cara mudah untuk memahami prinsip Cavalieri adalah dengan memandang volume bangun ruang sebagai tumpukan koin. Tentunya jika dua tumpukan koin memiliki tinggi yang sama dan koin-koin yang bertepatan memiliki luas yang sama maka volume kedua tumpukan adalah sama.

B. Menentukan Volume Bola Menggunakan Integral
Perhatikan grafik berikut:
Suatu daerah berbentuk setengah lingkaran diputar mengelilingi sumbu x, batas-batasnya adalah x = -r dan x = r, volume benda putarnya adalah:
Ketika dihitung menggunakan integral juga menghasilkan formula yang sama.

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Uji Linearitas dan Keberartian Regresi

Gambar
1. Uji Linearitas Regresi ➢ Analisis regresi mengharuskan adanya hubungan fungsional antara X dan Y yang linear → perubahan nilai di salah satu variabel independen akan menghasilkan perubahan yang konstan pada variabel dependen. ➢ Tujuan linearitas pada regresi adalah meyakinkan hubungan linear pada X dan Y dan juga dampak dari model tersebut. Selain itu, residu tersisa sudah tidak memiliki pola tertentu sehingga memastikan bahwa model yang dikeluarkan benar tepat.  ➢ Tidak dipenuhinya asumsi linearitas menjadikan estimasi parameter regresi menjadi bias (koefisien regresi, kesalahan baku, dan pengujian signifikansi) yang berakibat model regresi menjadi tidak tepat jika digunakan untuk prediksi. ➢ Hasil analisis regresi yang underfitting atau overfitting serta resiko kesalahan tipe I atau tipe II menjadi sangat besar. Berikut langkah-langkah uji linearitas: 1. Urutkan dan Kelompokkan Data Data diurutkan berdasarkan nilai X dari terkecil hingga terbesar. Data dengan nilai X yang sama...
Read more »

Limit dan Kekontinuan Fungsi Dua Variabel

Gambar
Mungkin tampak aneh bahwa kita membahas turunan parsial sebelum limit untuk fungsi dua variabel atau lebih. Namun, diferensiasi parsial sebenarnya merupakan ide yang lebih sederhana karena semua variabel kecuali satu variabel dijaga tetap. Satu-satunya konsep yang diperlukan untuk mendefinisikan turunan parsial adalah limit dari suatu fungsi satu variabel. Di sisi lain, limit dari suatu fungsi dua (atau lebih) variabel adalah konsep yang lebih dalam karena kita harus memperhitungkan semua cara di mana (x, y) mendekati (a, b). Ini tidak dapat disederhanakan menjadi memperlakukan "satu variabel pada satu waktu" seperti diferensiasi parsial. Limit dari suatu fungsi dua variabel memiliki arti intuitif yang biasa: Nilai-nilai f(x, y) semakin mendekati angka L ketika (x, y) mendekati (a, b). Masalahnya adalah bahwa (x, y) dapat mendekati (a, b) dengan cara yang tak terhingga banyaknya. Kita menginginkan definisi yang memberikan L yang sama tidak peduli jalur apa yang diambil (x, y)...
Read more »

Sistem Persamaan Diferensial Linier Homogen Berkoefisien Konstan

Gambar
1. Pengenalan Di halaman ini kita akan membahas sistem linear homogen dx/dt = a₁x + b₁y dy/dt = a₂x + b₂y dimana koefisien a₁, b₁, a₂, dan b₂ adalah konstanta real. Kita mencari solusi dari sistem ini; tapi bagaimana kita harus melanjutkannya? Ingatlah kembali bahwa kita mencari dan menemukan solusi eksponensial dari sistem linear tunggal berderajat n dengan koefisien konstan. Mengingat analogi yang ada antara sistem linear dan persamaan diferensial tingkat-tinggi tunggal, kita sekarang mungkin bisa mencoba menemukan solusi eksponensial dari sistem tersebut. Oleh karena itu mari kita coba tentukan solusi dalam bentuk x = Ae 位t   y = Be 位t   dimana A, B, dan 位 adalah konstanta. Jika kita substitusikan bentuk eksponensial ke dalam persamaan awal, kita mendapatkan A位e 位t  = a₁Ae 位t  + b₁Be 位t   B位e 位t  = a₂Ae 位t  + b₂Be 位t   Persamaan-persamaan ini mengarah langsung ke sistem (a₁ – 位)A + b₁B = 0 a₂A + (b₂ – 位)B = 0 dalam variabel-variabel yang tidak ...
Read more »