Volume Tetrahedron Menggunakan Trigonometri

1. Volume Tetrahedron Menggunakan Trigonometri

Misal diberikan tetrahedron T.ABC dengan AB berhadapan dengan TC, volumenya adalah:

Keterangan:

d: Jarak antara AB dan TC

Q: Sudut antara AB dan TC

Bukti:

(i) Buat garis AD//BC dan CD//AB, terbentuk jajargenjang ABCD.

(ii) ∠TCD = Q = sudut antara TC dan AB

(iii) Jarak antara AB dan TC = tinggi limas B.TCD

Vol T.ABC = Vol T.BCD (karena memiliki luas alas dan tinggi sama)

= Vol B.TCD

= ⅓ × d × [TCD]

= ⅓ × d × ½ × TC × CD × sin ∠TCD

= ⅙ × d × AB × TC × sin Q

∴ Vol T.ABC = ⅙ × d × AB × TC × sin Q ∎

2. Penampang Parallel Tengah

Misal O pada pertengahan AC, P pada pertengahan BC, F pada pertengahan TB, E pada pertengahan TA, jajargenjang OPFE merupakan penampang parallel tengah antara AB dan TC.

Vol T.ABC = ⅔ × d × [OPFE]

Keterangan

d: Jarak AB dan TC

Bukti:

∠FPO = ∠TCD = Q

Vol T.ABC = ⅙ × d × AB × TC × sin Q

= ⅙ × d × 2.OP × 2.FP × sin Q

= ⅔ × d × OP × FP × sin ∠FPO

∴ Vol T.ABC = ⅔ × d × [OPFE] ∎

Contoh soal dan pembahasan

Diberikan balok ABCD.EFGH dengan AB = 5cm, BC = 4cm, dan AE = 3cm. Jika titik Q pada pertengahan AB, tentukan volume tetrahedron Q.ACH

Rusuk AQ berhadapan dengan CH, jarak antara keduanya sama dengan BC, yaitu 4cm, sudut antara keduanya sama dengan ∠DCH

Vol Q.ACH = ⅙ × d × AQ × CH × sin ∠DCH

= ⅙ × 4 × 5/2 × DH

= ⅙ × 10 × 3

= 5