Distribusi Gamma

Distribusi gamma dan eksponensial memaikan peran yang sangat penting di bidang teori antrian dan teori keandalan (reliabilitas). Distribusi Eksponensial merupakan keadaan khusus dari distribusi gamma. Distribusi gamma mendapat namanya dari fungsi gamma yang sudah dikenal luas.

1. Fungsi Gamma

Fungsi gamma didefinisikan sebagai:

Kasus khusus untuk 𝛼 = 1:

Jadi, Γ(1) = 1

2. Hubungan Fungsi Gamma dengan Faktorial

Misal dilakukan integral parsial, akan diperoleh rumus reduksi sebagai berikut:

Telah diperoleh bentuk rekursif, misal 𝛼 = n dengan n ∈ N, apabila diuraikan menjadi:

Jadi, fungsi gamma untuk bilangan asli adalah faktorial dari bilangan asli sebelumnya.

3. Fungsi Gamma Setengah

Misal nilai 𝛼 = ½ dimasukkan ke fungsi gamma, akan diperoleh:

Ingat kembali definisi fungsi gamma:

Masukkan 𝛼 = ½ ke fungsi gamma:

Lakukan substitusi integral:

Ubah ke sistem koordinat polar dengan:

Menjadi:

Jadi, nilai fungsi gamma untuk 𝛼 = ½ adalah akar dari pi.

4. Distribusi Gamma

Perubah acak kontinu X berdistribusi gamma dengan parameter 𝛼 dan 𝛽, jika fungsi densitasnya berbentuk:

dengan 𝛼 > 0 dan 𝛽 > 0.

Ilustrasi untuk distribusi Gamma:

Distribusi Gamma untuk 𝛼 = 1 disebut distribusi eksponensial, berikut ilustrasinya:

5. Distribusi Eksponensial

Perubah acak kontinu X terdistribusi eksponensial dengan parameter 𝛽, jika fungsi densitasnya berbentuk:

Berikut ilustrasi untuk distribusi eksponensial:

6. Rata-Rata dan Variansi dari Distribusi Gamma dan Eksponensial

A. Rata-Rata dan Variansi dari Distribusi Gamma

B. Rata-Rata dan Variansi dari Distribusi Eksponensial

contoh soal

1. Suatu sistem memuat sejenis komponen yang mempunyai daya tahan pertahun dinyatakan oleh perubah acak T yang berdistribusi eksponensial dengan parameter waktu rata-rata sampai gagal 𝛽 = 5. Bila sebanyak 5 komponen tersebut dipasangkan dalam sistem yang berlainan, berapa probabilitas bahwa paling sedikit 2 masih akan berfungsi pada akhir tahun ke delapan?

Probabilitas bahwa suatu komponen tertentu masih akan berfungsi setelah 8 tahun adalah:

2. Hubungan saluran  telefon tiba di suatu gardu (sentral) memenuhi proses poisson dengan rata-rata 5 hubungan yang masuk per menit. Berapa probabilitasnya bahwa setelah semenit berlalu baru 2 sambungan telepon masuk ke gardu tersebut?

Proses poisson berlaku denganwaktu sampai kejadian poisson memenui distribusi gamma dengan parameter β = ⅕ dan α = 2. Misalkan X perubah acak yang menyatakan waktu dalam menit yang berlalu sebelum 2 hubungan masuk, probabilitasnya adalah: