Distribusi Proporsi dan Selisihnya (Sampling)

1. Distribusi Proporsi

Misalkan populasi berukuran N yang didalamnya terdapat peristiwa A sebanyak Y diantara N. Parameter proporsi peristiwa A adalah:

𝜋 = Y/N

Dari populasi diambil sampel acak berukuran n dan didalamnya terdapat peristiwa A sebanyak X. Sampel memberikan statistik proporsi peristiwa A sebanyak:

𝐴 = X/n (proporsi sukses)

Jika semua sampel yang diambil dari populasi dihitung harga statistik proporsinya, maka dari semua nilai statistik proporsi dapat diperoleh nilai rerata proporsi 𝜇_𝑋/𝑛 dan simpangan baku proporsi 𝜎_𝑋/𝑛.

Jika sampel berukuran n diambil dari populasi berukuran N yang memenuhi distribusi proporsi, maka reratanya adalah:

sedangkan varians untuk 𝑛 > 5%𝑁 (ukuran 𝑁 kecil) adalah:

sedangkan varians untuk 𝑛 ≤ 5%𝑁 (ukuran 𝑁 besar) adalah:

Jika n cukup besar, maka distribusi proporsi 𝑥/𝑛 mendekati distribusi normal, dengan aturan normal baku:

contoh:

Terdapat petunjuk kuat bahwa 15% termasuk kedalam golongan I. Sebuah sampel acak terdiri dari 125 orang telah diambil. Tentukan peluang bahwa dari 125 orang tersebut akan terdapat paling sedikit 20 orang termasuk golongan I!

Diketahui n = 100 orang dengan 𝜋 = 15% termasuk A, sehingga 1 − 𝜋 = 85% bukan termasuk A.

Akan ditentukan P(X ≥ 20):

Jadi, peluang dari 125 orang terdapat paling sedikit 20 orang termasuk golongan I adalah 0,377098.

2. Distribusi Selisih Proporsi

Misalkan terdapat dua populasi berukuran 𝑁₁ dan 𝑁₂. Didalam kedua populasi terdapat suatu peristiwa A dengan proporsi 𝜋₁ untuk populasi ke-1 dan 𝜋₂ untuk populasi ke-2. Dari kedua populasi diambil sampel acak masing-masing berukuran 𝑛₁ dan 𝑛₂ yang didalamnya terdapat terdapat peristiwa A sebanyak X untuk sampel ke-1 dan sebanyak Y untuk sampel ke-2. Sehingga untuk persitiwa A, dikumpulkan proporsi 𝑋_𝑖/𝑛₁ untuk sampel ke-1 dan proporsi 𝑌_𝑗/𝑛₂ untuk sampel ke-2 dengan 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑘 dan 𝑗 = 1,2,3, … , 𝑟. Nilai rerata untuk selisih proporsi adalah:

simpangan baku untuk selisih proporsi adalah:

Jika 𝑛₁ dan 𝑛₂ cukup besar, maka distribusi selisih proporsi akan mendekati distribusi normal yang akan dibakukan dengan tranformasi:

contoh:

Terdapat petunjuk kuat bahwa calon A akan mendapat suara 50% dalam pemilihan suara. Dua buah sampel acak dipilih dan diambil dari dua populasi masing-masing sebanyak 300 orang dan 250 orang. Tentukan peluang bahwa akan terjadi perbedaan persentase tidak lebih dari 10% yang akan memilih A!

Diketahui 𝜋₁ = 𝜋₂ = 50% memilih A

 X banyak yang memilih A dari sampel 1 dengan 𝑛₁ = 300

 Y banyak yang memilih A dari sampel 2 dengan 𝑛₂ = 250

Akan ditentukan peluang bahwa akan terjadi perbedaan persentase tidak lebih dari 10% yang akan memilih A, sebelumnya ditentukan terlebih dahulu nilai z:

sehingga dapat ditentukan nilai peluangnya:

Peluang bahwa akan terjadi perbedaan persentasi tidak lebih dari 10% yang akan memilih A adalah 0,980483.