Distribusi Rerata, Selisih Rerata, Simpangan Baku (Sampling)

1. Distribusi Rerata

Misalkan 𝑓(𝑥) adalah distribusi dari populasi yang diketahui, dari populasi tersebut diambil sampel random berukuran 𝑛. Akan diketahui distribusi probablititas dari rerata statistik.

Jika 𝑋₁, 𝑋₂, … , 𝑋_n adalah variabel random suatu populasi berukuran 𝑛 dengan rerata 𝜇 dan varians 𝜎², maka:

• 𝜇_𝑥 = 𝜇

• 𝜎_𝑥² untuk populasinya tak berhingga atau sampel diambil dengan pengembalian adalah:

adapun untuk populasinya berhingga dan sampel tidak diambil dengan pengembalian adalah:

Perhatikan bahwa rerata dari sampel membentuk distribusi peluang, sehingga berlaku dalil limit pusat:

"Sebuah populasi memiliki rata-rata 𝜇 dan varians 𝜎². Jika sampel-sampel berukuran 𝑛 diambil dari populasi tersebut, maka rerata sampel 𝑋 berdistribusi normal dengan rerata 𝜇_𝑥 = 𝜇 dan variansi 𝜎_𝑥² = 𝜎²/n."

Distribusi normal yang didapat dari distribusi rerata perlu distandarkan sehingga daftar distribusi normal baku dapat digunakan, yaitu dengan transformasi variabel standar rerata 𝑋, yaitu:

dengan 𝑛 ukuran sampel yang diambil dari populasi sebarang dengan rerata 𝜇 dan variansi 𝜎².

contoh:

Suatu perusahaan memproduksi bola lampu yang umurnya berdistribusi hampir normal dengan rerata 500 jam dan deviasi baku 20 jam. Tentukan peluang bahwa sampel acak dengan 25 bola lampu akan memiliki rerata umur kurang dari 465 jam!

Jika ukuran populasi tidak diketahui, maka diasumsikan cukup besar sehingga dapat menggunakan dalil limit pusat.

Diketahui 𝜇 = 500 dan 𝜎 = 20, sehingga 𝜎² = 400.

Diambil sampel berukuran 25, 𝜇_𝑥 = 𝜇 = 500, dan 𝜎_𝑥² = 𝜎²/n = 400/25 = 16.

P(X < 465) adalah:

Jadi, peluang bahwa rerata 25 bola lampu tersebut kurang dari 465 jam adalah 0,190787.

2. Distribusi Selisih Rerata

Terdapat dua populasi berukuran N₁ dan N₂ masing-masing dengan 𝜇₁ dan 𝜇₂ serta 𝜎₁ dan 𝜎₂. Diambil sampel acak dari kedua populasi masing-masing berukuran 𝑛₁ dan 𝑛₂ (boleh sama atau beda) yang selanjutnya dihitung nilai rata-rata dan simpangan bakunya:

𝜇_{x - y} = 𝜇₁ − 𝜇₂ dan

Jika ukuran ukuran sampel semakin besar, maka selisih rata-rata 𝑋 − 𝑌 akan mendekati distribusi normal yang selanjutnya menjadi normal baku dengan transformasi:

contoh:

Rata-rata tinggi Mahasiswa laki-laki adalah 163 cm dengan simpangan baku 5,2 cm dan rata-rata tinggi perempuan adalah 152 cm dengan simpangan baku 4,9. Dari kedua populasi diambil sampel acak sebanyak 150 orang Mahasiswa laki-laki dan 140 Mahasiswa perempuan. Tentukan peluang bahwa dari sampel yang diambil tersebut rata-rata tinggi Mahasiswa laki-laki paling sedikit 10 cm lebihnya dari rata-rata tinggi Mahasiwa perempuan!

Diketahui 𝜇₁ = 163 dan 𝜎₁ = 5,2; 𝜇₂ = 152 dan 𝜎₂ = 4,9; 𝑛₁ = 150; 𝑛₂ = 140.

Akan ditentukan P(𝑋 ≥ 10 + 𝑌) = P(𝑋 − 𝑌 ≥ 10):

Jadi, peluang bahwa rata-rata tinggi mahasiswa laki-laki paling sedikit 10 cm lebihnya dari dari perempuan adalah 0,9541.

3. Distribusi Simpangan Baku

Misalkan terdapat populasi berukuran 𝑁 dengan rerata 𝜇 dan simpangan baku 𝜎. Diambil sampel – sampel acak berukuran 𝑛, kemudian dari setiap sampel dihitung nilai simpangan bakunya yaitu 𝑠. Berdasarkan populasi simpangan bakunya, dapat ditentukan nilai rerata dari populasi simpangan baku yaitu 𝜇_s dan variansi dari populasi simpangan baku yaitu 𝜎_s².

Jika populasi berdistribusi normal, maka distribusi simpangan baku untuk 𝑛 yang besar akan mendekati distribusi normal dengan:

𝜇_s = 𝜎 dan

Transformasi untuk distribusi simpangan baku sehingga menjadi distribusi normal baku adalah: