Estimasi (Stadas)

Statistika berusaha untuk menyimpulkan populasi, sehingga karakteristik populasi dipelajari berdasarkan data melalui sensus atau sampling.

Kenyataan (mempertimbangkan berbagai faktor), sebuah sampel representatif sering digunakan untuk mengambil kesimpulan terhadap populasi (parameter) berdasarkan data sampel (statistik). Namun demikian, timbul suatu pertanyaan “Seberapa yakinkah kita terhadap kesimpulan untuk populasi yang diperoleh benar berdasarkan data sampel?”

1. Estimator (Penaksir)

Sebuah populasi ditentukan oleh satu (atau lebih) nilai yang tidak diketahui (parameter) yaitu 𝜃 (misalkan nilai rata-rata 𝜇, simpangan baku 𝜎, proporsi 𝜋, dan sebagainya) yang selanjutnya akan diestimasi melalui data sampel yaitu 𝜃 ̂. 

Akan tetapi kenyataan terdapat 2 kemungkinan, yaitu mengestimasi 𝜃 oleh 𝜃 ̂ terlalu tinggi; atau mengestimasi 𝜃 oleh 𝜃 ̂ terlalu rendah.

Dua kenyataan tersebut tidak diharapkan, karena (tentunya) diharapkan akan diperoleh estimator yang baik.

2. Kriteria Estimator

• Tidak bias, yaitu jika rata-rata semua harga 𝜃 ̂ yang mungkin akan sama dengan 𝜃 (𝐸(𝜃 ̂ ) = 𝜃).

• Variansi minimum, yaitu estimator dengan variansi yang terkecil diantara semua estimator untuk parameter yang sama. 

• Konsisten, yaitu jika n (ukuran sampel acak 𝜃 ̂) makin besar mendekati ukuran populasi. 

“Penaksir yang tak bias dan bervariansi minimum merupakan penaksir yang terbaik.”

contoh:

1. Rata-rata x ̅ untuk sampel berukuran n yang diambil dari populasi adalah estimator untuk rata-rata populasi 𝜇.

2. Variansi s² untuk sample berukuran n yang diambil dari populasi adalah estimator untuk variansi populasi 𝜎².

3. Jenis Estimasi

❑ Estimasi Titik

Jika nilai parameter 𝜃 diestimasi oleh sebuah nilai statistik 𝜃 ̂ tertentu, maka 𝜃 ̂ disebut titik estimator. Proses mengestimasi titik estimator disebut estimasi titik (point estimation). 

Jika 𝜃 adalah parameter populasi X, maka suatu statistik 𝜃 ̂ disebut estimator tak bias dari parameter 𝜃 jika E(𝜃 ̂ ) = 𝜃.

Misal:

1. X ̅ adalah titik estimator tidak bias dari 𝜇.

2. 𝑠² adalah estimator tak bias dari 𝜎² (karena itu rumus pada 𝑠² memiliki pembagi (𝑛 − 1) sedang pada 𝜎² rumusannya dibagi 𝑛).

Catatan:

Titik estimator untuk sebuah nilai parameter akan berlainan bergantung pada nilai statistik yang didapat. Ini berakibat adanya kurang yakin atas hasil penaksiran. 

❑ Estimasi Interval

Nilai titik estimator untuk sebuah paramter akan bergantung pada sampel yang diperoleh. Oleh karena itu, estimasi menggunakan interval lebih disukai. Proses melakukan estimasi menggunakan interval disebut estimasi interval.

Makin lebar interval estimator yang digunakan, kebenaran estimasi akan semakin besar. Akan tetapi, akan dicari estimator dengan interval sempit dengan derajat kepercayaan yang besar.

4. Interval Konfidensi

Semakin lebar interval estimator, kebenaran estimasi akan semakin besar. Tetapi lebih disukai mencari interval estimator yang sempit dengan derajat kepercayaan yang memuaskan. 

Derajat kepercayaan dalam mengestimasi disebut koefisien kepercayaan (konfidensi).

Misalkan 𝜃 ̂ adalah estimator untuk 𝜃. A dan B adalah nilai-nilai estimator berdasarkan sampel tertentu, maka koefisien kepercayaan dinyatakan sebagai 

𝑃(𝐴 < 𝜃 < 𝐵) = 1 − 𝛼

𝛼 disebut taraf signifikansi.

Interval 𝐴 < 𝜃 < 𝐵 disebut interval kepercayaan (Interval Konfiedensi) dengan A dan B disebut batas-batas kepercayaan. 

𝑃(𝐴 < 𝜃 < 𝐵) = 1 − 𝛼 berarti kita merasa 100(1 − 𝛼)% percaya (yakin) bahwa parameter 𝜃 terletak diantara A dan B.

Rumus umum untuk semua interval konfidensi adalah:

Estimasi titik ± (titik kritis)(Standar Error)

Keterangan:

Estimasi titik     = statistik sampel untuk menduga parameter populasi yang dikehendaki 

Titik kritis     = nilai distribusi sampling dari estimasi titik dengan tingkat konfindensi tertentu 

Standar Error     = standar deviasi dari estimasi titik

Elemen-elemen interval konfidensi:

1. Level Konfidensi (Tingkat kepercayaan) 

    Kepercayaan dalam interval yang berisi parameter populasi yang tak diketahui 

2. Presisi (jangkauan) 

    Kedekatan pada parameter yang tidak diketahui 

3. Cost 

    Usaha yang digunakan untuk menentukan ukuran sampel