Interval Konfidensi Selisih Rerata (Mean Difference)

Misalkan terdapat dua buah populasi yang berdistribusi normal. Rata-rata dan simpangan baku dari kedua populasi tersebut masing-masing adalah 𝜇₁ dan 𝜎₁ untuk populasi pertama dan 𝜇₂ dan 𝜎₂ untuk populasi kedua. Dari kedua populasi diambil masing-masing sampel acak berukuran n₁ dan n₂. Rata-rata dan simpangan baku dari kedua sampel acak tersebut adalah 𝑥₁ ̅ dan 𝑠₁ ̅ untuk sampel pertama dan 𝑥₂ ̅ dan 𝑠₂ ̅ untuk sampel kedua. Akan diestimasi selisih rata-rata, yaitu 𝜇₁ − 𝜇₂, dengan estimator 𝑥₁ ̅ − 𝑥₂ ̅.

1. Interval Konfidensi Selisih Rerata untuk 𝜎₁ dan 𝜎₂ Diketahui

Jika  𝑥₁ ̅ dan 𝑥₂ ̅ adalah rata-rata sampel random berukuran 𝑛₁ dan 𝑛₂ yang diambil dari populasi - populasi berdistribusi normal (atau populasi-populasi tidak berdistribusi normal untuk n ≥ 30) dengan 𝜎₁  dan 𝜎₂ dan besarnya diketahui, maka interval konfidensi 100(1 − 𝛼)% untuk 𝜇₁ − 𝜇₂ adalah:

Kasus khususnya jika nilai 𝜎₁ = 𝜎₂ = 𝜎 (homogen) dan diketahui besarnya, maka interval konfidensi selisih rerata populasi adalah:

2. Interval Konfidensi Selisih Rerata untuk 𝜎₁ = 𝜎₂ = 𝜎 (Homogen) dan Tidak Diketahui

Jika  𝑥₁ ̅ dan 𝑥₂ ̅ adalah rata-rata sampel random berukuran 𝑛₁ dan 𝑛₂ yang diambil dari populasi - populasi berdistribusi normal (dengan sampel 𝑛₁ < 30 dan 𝑛₂ < 30) dengan 𝜎₁ = 𝜎₂ = 𝜎 (Homogen) dan tidak diketahui besarnya, maka interval konfidensi 100(1 − 𝛼)% untuk 𝜇₁ − 𝜇₂ adalah:

dengan varians gabungannya adalah:

contoh soal:

Sampel bola lampu A dengan ukuran 150 menunjukkan masa pakai reratanya 1400 jam dengan simpangan baku 120 jam. Sampel bola lampu B dengan ukuran 200 menunjukkan masa pakai rerata 1200 jam dengan simpangan baku 80 jam. Jika diasumsikan bahwa 𝜎₁ = 𝜎₂ = 𝜎, tentukan interval konfidensi 95% untuk selisih rerata populasi dari bola lampu A dan bola lampu B!

Asumsi varians  populasi 𝜎₁ = 𝜎₂ = 𝜎 (homogen) tetapi tidak diketahui besarnya, maka dihitung varians gabungan 

sehingga s = 99,12259

sehingga interval estimatornya:

Hal ini menunjukkan bahwa 95% percaya bahwa selisih rata-rata masa pakai kedua jenis lampu akan berada pada interval yang dibatasi oleh 178,9425 dan 221,0575.

3. Interval Konfidensi Selisih Rerata untuk 𝜎₁ ≠ 𝜎₂ dan Tidak Diketahui

Jika  𝑥₁ ̅ dan 𝑥₂ ̅ adalah rata-rata sampel random berukuran 𝑛₁ dan 𝑛₂ yang diambil dari populasi - populasi berdistribusi normal dengan 𝜎₁ ≠ 𝜎₂ dengan 𝑠₁ = 𝜎₁ dan 𝑠₂ = 𝜎₂, maka interval konfidensi 100(1 − 𝛼)% untuk 𝜇₁ − 𝜇₂ adalah:

dengan

4. Interval Konfidensi Selisih Rerata pada Observasi Berpasangan

Jika  𝐷 ̅ adalah rerata dari beda nilai-nilai pada observasi berpasangan pada sampel random berukuran 𝑛 yang diambil dari populasi berdistribusi normal dengan rerata 𝜇_D = 𝜇₁ − 𝜇₂, maka interval konfidensi 100(1 − 𝛼)% untuk 𝜇_D adalah:

Dengan 𝐷 = 𝑋₁ − 𝑋₂ dan 𝑠_D adalah deviasi baku variabel random 𝐷 serta 𝑛 menyatakan banyak pasangan data.

contoh soal

Dua kelompok siswa beranggotakan 10 orang dimana kedua kelompok tersebut memiliki tingkatan IQ yang persis sama. Kelompok I diberikan model A dan kelompok II diberikan model B. Diakhir pembelajaran kedua kelompok diberikan tes dengan hasil sebagai berikut:

Tentukan interval konfidensi 98% untuk selisih rerata Kelompok I dan II jika asumsi-asumsi pengamatan tersebut berasal dari populasi berdistribusi normal!

Interval konfidensinya adalah:

Jadi, interval konfidensinya adalah −7,293 < 𝜇_D < 4,093