Uji Hipotesis: Uji Dua Rata-Rata

σ² adalah varians populasi.

1. Uji Dua Pihak

Misalkan terdapat terdapat dua populasi berdistribusi normal dengan rata-rata 𝜇₁ dan 𝜇₂ dan simpangan baku 𝜎₁ dan 𝜎₂. Secara independen, dari populasi 1 dan 2 diambil sampel acak berukuran 𝑛₁ dan 𝑛₂. Akan diuji parameter rata-rata 𝜇₁ dan 𝜇₂.

a. Untuk 𝜎₁² = 𝜎₂² = 𝜎² (Homogen) dan 𝜎² diketahui.

Hipotesis

H₀ : 𝜇₁ = 𝜇₂ 

H₁ : 𝜇₁ ≠ 𝜇₂ 

Statistik Uji

Daerah Kritis

dengan nilai z_½α didapat dari tabel normal baku.

b. Untuk 𝜎₁² = 𝜎₂² = 𝜎² (Homogen) dan 𝜎² tidak diketahui.

Pada kenyataan, sering ditemui nilai varians populasi tidak diketahui. Dalam hal ini sering digunakan estimasinya, yaitu 𝑠².

Hipotesis

H₀ : 𝜇₁ = 𝜇₂ 

H₁ : 𝜇₁ ≠ 𝜇₂ 

Statistik Uji

dengan 𝑠² varians gabungan dinyatakan oleh:

Daerah Kritis

dengan nilai t kritis diperoleh dari tabel t dengan taraf signifikansi ½𝛼 dan derajat kebebasan 𝑛₁ + 𝑛₂ − 2.

c. Untuk 𝜎₁² ≠ 𝜎₂² (Tidak Homogen) dan keduanya tidak diketahui

Jika kedua varians populasi tidak sama tetapi keduanya berdistribusi normal, maka pengujian menggunakan pendekatan uji statistik 𝑡′.

Hipotesis

H₀ : 𝜇₁ = 𝜇₂ 

H₁ : 𝜇₁ ≠ 𝜇₂ 

Statistik Uji

Daerah Kritis

dengan

contoh:

Dua macam makanan A dan B diberikan kepada ayam secara terpisah untuk jangka waktu tertentu. Ingin diketahui apakah kedua makanan memberikan dampak yang sama atau tidak terhadap berat ayam. Sampel acak yang terdiri dari 11 ayam diambil diberi makanan A dan 10 ayam diberi makanan B. Diperoleh berat ayam sebagai berikut.

Dengan 𝛼 = 0,01; tentukan kesimpulan yang diperoleh jika kedua kelompok homogen!

Berdasarkan data di atas, diperoleh rerata berat ayam yang diberi makanan A adalah 3,22 dan variansnya adalah 0,2; sedangkan rerata berat ayam yang diberi makanan B adalah 3,07 dan variansnya 0,1.

diasumsikan bahwa 𝜎₁² = 𝜎₂² = 𝜎² (Homogen) dan 𝜎² tidak diketahui.

1. Hipotesis

H₀ : 𝜇₁ = 𝜇₂ (kedua macam makanan tidak memberikan dampak yang berbeda)

H₁ : 𝜇₁ ≠ 𝜇₂ (kedua macam makanan memberikan dampak yang berbeda)

2. Taraf Signifikansi

α = 1% = 0,01

3. Statistik Uji

4. Daerah Kritis

5. Keputusan Uji 

Karena 𝑡 = 0,862 maka −2,861 < 𝑡 < 2,861. Ini berarti 𝑡 ∉ 𝐷𝐾, sehingga H₀ diterima.

6. Kesimpulan

Kedua macam makanan memberikan dampak yang sama secara signifikan terhadap berat badan ayam atau dengan kata lain tidak terdapat perbedaan yang signifikan berat badan ayam yang mendapatkan makanan A dengan berat badan yang mendapatkan makanan B.

2. Uji Satu Pihak

a. Untuk 𝜎₁² = 𝜎₂² = 𝜎² (Homogen) dan 𝜎² diketahui.

• Pihak Kanan

Hipotesis

H₀ : 𝜇₁ ≤ 𝜇₂ 

H₁ : 𝜇₁ > 𝜇₂ 

Statistik Uji

Daerah Kritis

DK = {z | z > z_α} dengan z_α didapat dari tabel normal baku.

• Pihak Kanan

Hipotesis

H₀ : 𝜇₁ ≥ 𝜇₂ 

H₁ : 𝜇₁ < 𝜇₂ 

Statistik Uji

Daerah Kritis

DK = {z | z > z_α} dengan z_α didapat dari tabel normal baku.

b. Untuk 𝜎₁² = 𝜎₂² = 𝜎² (Homogen) dan 𝜎² tidak diketahui.

• Pihak Kanan

Hipotesis

H₀ : 𝜇₁ ≤ 𝜇₂ 

H₁ : 𝜇₁ > 𝜇₂ 

Statistik Uji

dengan 𝑠² varians gabungan dinyatakan oleh:

Daerah Kritis

dengan nilai t kritis diperoleh dari tabel t dengan taraf signifikansi 𝛼 dan derajat kebebasan 𝑛₁ + 𝑛₂ − 2.

• Pihak Kiri

Hipotesis

H₀ : 𝜇₁ ≥ 𝜇₂ 

H₁ : 𝜇₁ < 𝜇₂ 

Statistik Uji

dengan 𝑠² varians gabungan dinyatakan oleh:

Daerah Kritis

dengan nilai t kritis diperoleh dari tabel t dengan taraf signifikansi 𝛼 dan derajat kebebasan 𝑛₁ + 𝑛₂ − 2.

c. Untuk 𝜎₁² ≠ 𝜎₂² (Tidak Homogen) dan keduanya tidak diketahui

• Pihak Kanan

Hipotesis

H₀ : 𝜇₁ ≤ 𝜇₂ 

H₁ : 𝜇₁ > 𝜇₂ 

Statistik Uji

Daerah Kritis

dengan

• Pihak Kiri

Hipotesis

H₀ : 𝜇₁ ≥ 𝜇₂ 

H₁ : 𝜇₁ < 𝜇₂ 

Statistik Uji

Daerah Kritis

dengan

contoh:

Seseorang ingin menunjukkan bahwa siswa wanita memiliki kemampuan dalam matematika yang lebih baik daripada siswa laki-laki. Untuk itu diambil 12 siswa wanita dan 16 siswa laki-laki sebagai sampel yang kemudian diberikan tes matematika dengan rekapitulasi nilai sebagai berikut:

Dengan menggunakan 𝛼 = 5% dengan data berasumsi normal dan homogen bagaimanakah kesimpulan penelitian tersebut?

Dugaan dalam permasalahan tersebut adalah kemampuan matematika siswa wanita lebih baik dari pada siswa laki-laki, sehingga pengujian dapat menggunakan uji satu pihak.

Asumsi: Berdistribusi normal dan Homogen

1. Hipotesis 

H₀: 𝜇₁ ≤ 𝜇₂ (Kemampuan siswa Wanita tidak lebih baik daripada Laki-laki)

H₁: 𝜇₁ > 𝜇₂ (Kemampuan siswa Wanita lebih baik daripada Laki-laki)

𝜇₁ menyatakan rata-rata kemampuan matematika siswa wanita

𝜇₂ menyatakan rata-rata kemampuan matematika siswa laki-laki

2. Taraf Signifikansi 𝛼 = 0,05

3. Statistik Uji

sehingga s ≈ 10,772

4. Daerah Kritis

5. Keputusan Uji

Karena 𝑡 = 0,035 maka 𝑡 < 1,706. Ini berarti 𝑡 ∉ 𝐷𝐾, sehingga H₀ diterima.

6. Kesimpulan

Kemampuan matematika siswa wanita tidak lebih baik secara signifikan daripada siswa laki-laki. Hal ini berarti bahwa dugaan tidak benar.

3. Uji Dependen

Dalam hal dua kelompok data adalah saling dependen (berpasangan), maka statistik uji yang digunakan adalah sebagai berikut:

dengan D = X − Y, dan n menyatakan banyaknya pasangan data.

Daerah kritis dari uji dependen adalah sebagai berikut:

• Untuk uji dua pihak

• Untuk uji satu pihak

Daerah kritis untuk pihak kanan:

Daerah kritis untuk pihak kiri:

contoh

Misalkan stimulan akan diuji akibatnya terhadap tekanan darah. Dua belas orang diambil secara random dari kelompok umur 30 – 40 tahun. Hasil pengukuran tekanan darah sebelum dan sesudah diberi stimulan disajikan sebagai berikut:

X: Kondisi tekanan darah sebelum diberi stimulan

Y: Kondisi tekanan darah setelah diberi stimulan

Jika diambil taraf signifikansi 1%, apakah dapat diyakini bahwa stimulan dapat mempertinggi tekanan darah?

Persoalan di atas diselesaikan dengan menggunakan uji kesamaan dua rata-rata data berpasangan dengan 𝜇₁ menyatakan rata-rata tekanan darah sebelum diberi stimulan dan 𝜇₂ menyatakan rata-rata tekanan darah setelah diberik stimulan.

1. Hipotesis 

H₀: 𝜇₁ ≥ 𝜇₂ (Stimulan tidak mempertinggi tekanan darah)

H₁: 𝜇₁ < 𝜇₂ (Stimulan mempertinggi tekanan darah)

2. Taraf Signfikansi α = 0,05

3. Statistik Uji

4. Daerah Kritis

5. Keputusan Uji
Karena 𝑡 = −0,98 maka 𝑡 > (−2,718) sehingga 𝑡 ∉ 𝐷𝐾. Akibatnya H₀ diterima.

6. Kesimpulan 

Pemberian stimulan tidak mempertinggi tekanan darah secara signifikan.