Uji Hipotesis: Uji Satu Rata-Rata

σ² adalah varians populasi.

1. Uji Dua Pihak

Misalkan terdapat populasi berdistribusi normal dengan rata-rata 𝜇 dan simpangan baku 𝜎. Akan diuji parameter rata-rata 𝜇.

a. Untuk σ² diketahui

Hipotesis

H₀ : 𝜇 = 𝜇₀ 

H₁ : 𝜇 ≠ 𝜇₀ 

Statistik Uji

Daerah Kritis

dengan nilai z_½α didapat dari tabel normal baku.

contoh:

Pengusahan lampu pijar A mengatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai sekitar 800 jam dengan standar deviasi 60 jam. Akhir-akhir ini timbul dugaan bahwa masa pakai lampu pijar telah berubah. Untuk menentukan hal itu, dilakukan uji coba dengan menggunakan 50 bola lampu sehingga diperoleh rata-rata masa pakainya 795 jam.

Jika diambil 𝛼 = 5% dengan asumsi normal, apakah dapat disimpulkan bahwa dugaan tersebut benar?

Perhatikan bahwa nilai 800 dan 60 jam merupakan nilai parameter sehingga 𝜇 = 800 dan 𝜎 = 60. Terdapat dugaan bahwa masa lampu pijar telah berubah. Karena 𝑛 besar, diasumsikan standar deviasinya mewakili standar deviasi populasi.

1. Hipotesis

H₀ : 𝜇 = 800 (masa pakai lampu tidak berubah)

H₁ : 𝜇 ≠ 800 (masa pakai lampu berubah)

2. Taraf Signifikansi

α = 5% = 0,05

3. Statistik Uji

4. Daerah Kritis

5. Keputusan Uji 

Karena 𝑧 = −0,94 sehingga −1,96 < 𝑧 < 1,96. Hal ini menunjukkan bahwa 𝑧 ∉ 𝐷𝐾, akibatnya H₀ diterima.

6. Kesimpulan

Masa pakai lampu masih sekitar 800 jam. Hal ini menunjukkan bahwa masa pakai lampu tidak berubah, sehingga dugaan tidak benar.

b. Untuk σ² tidak diketahui

Pada kenyataan, sering ditemui nilai varians populasi tidak diketahui. Dalam hal ini sering digunakan estimasinya, yaitu s².

Hipotesis

H₀ : 𝜇 = 𝜇₀ 

H₁ : 𝜇 ≠ 𝜇₀ 

Statistik Uji

Daerah Kritis

dengan nilai t kritis diperoleh dari tabel t dengan taraf signifikansi ½𝛼 dan derajat kebebasan n − 1.

contoh:

Pengusahan lampu pijar A mengatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai sekitar 800 jam. Akhir-akhir ini timbul dugaan bahwa masa pakai lampu pijar telah berubah. Untuk menentukan hal itu, dilakukan uji coba dengan menggunakan 50 bola lampu sehingga diperoleh rata-rata masa pakainya 795 jam dan simpangan baku 55 jam.

Jika diambil 𝛼 = 5% dengan asumsi normal, apakah dapat disimpulkan bahwa dugaan tersebut benar?

Perhatikan bahwa nilai 800 merupakan nilai parameter sehingga 𝜇 = 800 tetapi nilai 𝜎 tidak diketahui. Terdapat dugaan bahwa masa lampu pijar telah berubah.

1. Hipotesis

H₀ : 𝜇 = 800 (masa pakai lampu tidak berubah)

H₁ : 𝜇 ≠ 800 (masa pakai lampu berubah)

2. Taraf Signifikansi

α = 5% = 0,05

3. Statistik Uji

4. Daerah Kritis

5. Keputusan

Karena −2,01 < 𝑡 < 2,01, maka H₀ diterima.

6. Kesimpulan

Masa pakai lampu masih sekitar 800 jam.

2. Uji Satu Pihak

Misalkan terdapat populasi berdistribusi normal dengan rata-rata 𝜇 dan simpangan baku 𝜎. Akan diuji parameter rata-rata 𝜇.

a. Untuk σ² diketahui

• Pihak Kanan

Hipotesis

H₀ : 𝜇 ≤ 𝜇₀ 

H₁ : 𝜇 > 𝜇₀ 

Statistik Uji

Daerah Kritis

dengan nilai z_α didapat dari tabel normal baku.

• Pihak Kiri

Hipotesis

H₀ : 𝜇 ≥ 𝜇₀ 

H₁ : 𝜇 < 𝜇₀ 

Statistik Uji

Daerah Kritis

dengan nilai z_α didapat dari tabel normal baku.

b. Untuk σ² tidak diketahui

• Pihak Kanan

Hipotesis

H₀ : 𝜇 ≤ 𝜇₀ 

H₁ : 𝜇 > 𝜇₀ 

Statistik Uji

Daerah Kritis

dengan nilai t kritis diperoleh dari tabel t dengan taraf signifikansi 𝛼 dan derajat kebebasan n − 1.

• Pihak Kiri

Hipotesis

H₀ : 𝜇 ≥ 𝜇₀ 

H₁ : 𝜇 < 𝜇₀ 

Statistik Uji

Daerah Kritis

dengan nilai t kritis diperoleh dari tabel t dengan taraf signifikansi 𝛼 dan derajat kebebasan n − 1.
contoh:

Menurut pengalaman bahwa nilai standar mata pelajaran Matematika siswa kelas XII SMA B adalah 65. Pada tahun ini diujicobakan suatu Metode Pembelajaran Baru yang diklaim meningkatkan kemampuan matematika siswa. Untuk itu, secara random dari populasi diambil 12 siswa yang akan mendapatkan pembelajaran menggunakan Metode Baru. Setelah dilakukan pembelajaran dan siswa diberikan tes, diperoleh skor sebagai berikut:

51, 71, 76, 81, 67, 98, 58, 69, 87, 74, 79, 81

Jika diambil 𝑎 = 5% dengan asumsi populasi berdistribusi normal, bagaimanakah kesimpulan penelitian

tersebut?

Dari perhitungan diperoleh 𝑋ത = 74,3 dan 𝑠 = 12,6. Ini menunjukan bahwa nilai varians populasi tidak

diketahui.

1. Hipotesis 

H₀ : 𝜇 ≤ 65 (Metode pembelajaran baru tidak meningkatkan kemampuan siswa)

H₁ : 𝜇 > 65 (Metode pembelajaran baru meningkatkan kemampuan siswa)

2. Taraf Signifikansi α = 5% = 0,05

3. Statistik Uji

4. Daerah Kritis (DK)

5. Keputusan Uji

Karena 𝑡 = 2,57 maka 𝑡 > 1,796. Hal ini menunjukkan bahwa 𝑡 ∈ 𝐷𝐾, akibatnya H₀ ditolak.

6. Kesimpulan

Rata-rata nilai Matematika siswa kelas XII SMA B lebih dari 65. Ini berarti metode pembelajaran baru dapat meningkatkan kemampuan matematika secara signifikan. Akibatnya klaim tersebut benar.