Uji Normalitas dan Uji Homogenitas

1. Uji Normalitas

Uji normalitas digunakan untuk menguji apakah suatu sampel berasal dari populasi berdistribusi normal atau tidak. Dalam praktiknya, uji normalitas bukan hanya sebatas asumsi, akan tetapi sesuatu yang dipersyaratkan sehingga harus dilakukan pengujian untuk normalitas, sehingga pada beberapa uji statistika harus dipenuhi dahulu normalitasnya.

Beberapa uji statistik yang mensyaratkan uji normalitas adalah statistika parametrik.

• Uji Rata-rata menggunakan uji z dan uji t.

• Analisis Regresi dan Korelasi.

• Analisis Variansi.

• Analisis Kovariansi.

A. Distribusi Normal

Distribusi Normal (Distribusi Gauss) digambarkan dalam kurva berbentuk lonceng yang simetris terhada nilai rerata 𝜇, yang disebut kurva Normal. Kurva normal sangat baik digunakan untuk menggambarkan sekelompok data yang muncul dalam kehidupan.

Sifat-sifat kurva normal:

1. Asimtotik terhadap sumbu mendatar (Sumbu X)

2. Simteris terhadap garis 𝑥 = 𝜇

3. Memiliki titik maksimum di (𝜇, 1/(𝜎√2𝜋))

4. Memiliki dua titik belok yang berjarak 𝜎 dari sumbu simetri

5. Luas daerah diatas sumbu X dan dibawah kurva setara dengan satu satuan luas. Karena kurva Normal simetris, berbentuk lonceng dan unimodal maka daerah di di kanan dan di kiri garis tegak lurus diatas mean masing-masing besarnya 0,5

6. Merupakan kurva unimodal, karena mean = median = mode

B. Metode Uji Normalitas

Terdapat beberapa metode untuk melakukan uji Normalitas, diantaranya metode Chi-Kuadrat, metode Lilliefors, metode Kolmogorov-Smirnov, metode Shapiro-Wilk, metode Anderson-Darling, metode Jarque-Bera,  metode Ryan-Joiner (similar to Shapiro-Wilk) dan sebagainya, termasuk juga dengan menggunakan grafik (Normal Q-Q Plot).

C. Metode Chi Kuadrat

Uji normalitas dengan metode Chi-Kuadrat dirumuskan sebagai:

Dengan nilai 𝜒² mendekati nilai variabel chi-kuadrat.

𝑜_𝑖: frekuensi amatan (observed)

𝑒_𝑖: frekuensi harapan (expected)

➢ Penggunaan metode Chi-Kuadrat untuk uji normalitas dilakukan pada data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi (data bergolong). Prinsip utamanya dengan membandingkan antara histogram data amatan dengan histogram yang kurva poligon frekuensinya mendekati distribusi normal.  

➢ Derajat kebebasan (dk) untuk uji normalitas dengan metode Chi-Kuadrat adalah k − 3.

Hipotesis statistik 

𝐻₀: Sampel berasal dari populasi berdistribusi normal

𝐻₁: Sampel tidak berasal dari populasi berdistribusi normal

Statistik Uji

Daerah Kritis

Nilai kritis chi kuadrat dari Tabel Chi-Kuadrat dengan derajat kebebasan (dk) yaitu 𝑘 − 1 untuk 𝑘 adalah banyak kelas dalam Tabel Distribusi Frekuensi.

contoh:

Diberikan data nilai rerata dari 6 mata pelajaran (Matematika, Biologi, Fisika, Kimia, Ekonomi - Sejarah, Sosiologi - Geografi) dari 91 siswa kelas X sebagai berikut:

80,42	78,33	76,33	81,50	77,92	74,75	79,33
77,50	81,67	79,33	89,00	82,67	83,08	82,00
77,50	85,58	77,50	83,17	83,00	76,58	77,42
75,75	74,17	80,00	81,58	81,83	80,58	75,50
75,17	74,25	75,00	78,25	80,58	78,33	82,83
75,00	74,42	77,00	81,00	81,33	79,08	79,08
80,67	75,92	84,00	80,42	73,42	74,83	79,08
77,08	78,08	83,75	77,42	78,58	81,25	74,33
76,08	80,58	81,92	77,17	76,58	79,00	78,08
77,25	75,83	75,67	78,67	78,42	73,50	71,58
81,33	82,92	75,17	75,92	77,42	74,67	76,00
84,67	74,42	78,33	77,33	77,33	72,58	72,25
82,58	76,08	78,00	76,33	74,83	75,08	78,25

Dengan menggunakan 𝛼 = 5%, apakah data tersebut berdistribusi normal?

Perhatikan beberapa langkah berikut yang harus dilakukan dalam melakukan komputasi.

1. Hipotesis Statistika 

𝐻₀: Data berdistribusi normal

𝐻₁: Data tidak berdistribusi normal

2. Taraf Signifikansi 

α = 0,05

3. Statistik Uji

reratanya adalah 78,3

standar deviasinya adalah 3,288

bilangan baku terkecil adalah −2,045 dan yang terbesar adalah 3,252. Pada umumnya banyak kelas adalah pembulatan keatas dari selisih bilangan baku terbesar dan terkecil.

𝑘 = ⌈z_max − z_min⌉ = ⌈3,252 − (−2,045)⌉ = 6

panjang kelasnya adalah 2,9028. Susun tabel distribusi frekuensi:

Interval	Frekuensi
71,58 – 74,48	10
74,49 – 77,38	28
77,39 – 80,29	25
80,30 – 83,19	23
83,19 – 86,09	4
86,10 – 89,00	1

Susun tabel frekuensi harapan dengan bilangan baku (z):

Interval baku	e
–2,04517 s/d –1,16231	9,2943
–1,16231 s/d –0,27945	24,333
–0,27945 s/d 0,60341	30,6609
0,60341 s/d 1,48628	18,6107
1,48628 s/d 2,36914	5,4316
2,36914 s/d 3,25200	0,7591

Cara untuk menentukan frekuensi harapan adalah tentukan peluang dikalikan banyak data.

e = P(a < z < b) * n

untuk peluang bisa dilihat di tabel z.

Tentukan nilai Chi Kuadrat

Interval	o	e	o – e	(o – e)²	(o – e)²/e
71,58 – 74,48	10	9,294348	0,705652	0,497944	0,053575
74,49 – 77,38	28	24,33301	3,666988	13,4468	0,552616
77,39 – 80,29	25	30,6609	–5,6609	32,04583	1,045169
80,30 – 83,19	23	18,61074	4,389256	19,26557	1,035185
83,19 – 86,09	4	5,431629	–1,43163	2,049563	0,377338
86,10 – 89,00	1	0,759104	0,240896	0,058031	0,076447
Total					3,14033

Nilai Chi kuadratnya adalah 3,14033

4. Daerah Kritis

5. Keputusan Uji dan Kesimpulan

Karena nilai 𝜒² = 3,14033; maka 𝜒² < 11,070498. Hal ini berarti 𝜒² ∉ 𝐷𝐾 akibatnya 𝐻₀ diterima. Dengan kata lain, data terdistribusi normal.

D. Metode Lilliefors

Pengujian normalitas menggunakan metode Lilliefors jika data tidak dalam bentuk tabel distribusi frekuensi/data bergolong. 

Metode perhitungan untuk metode Lilliefors.

➢ Data diurutkan berdasarkan nilai (dari nilai terkecil ke terbesar atau sebaliknya), kemudian setiap data pada metode Lilliefors di ubah menjadi bilangan baku z dengan tranformasi 

➢ Statistik Uji metode Lilliefors

L = Max|F(z_i) − S(z_i)|

dengan F(z_i) = P(Z ≤ z_i); Z ~ 𝑁(0,1)

S(z_i) = Proporsi cacah Z ≤ z_i terhadap seluruh z

➢ Daerah Kritis

DK = {L | L > L_α;n}

dengan n ukuran sampel dan L_α;n dari tabel Lilliefors:

contoh:

Sebuah sampel berukuran 6 diambil secara random dari suatu populasi. Keenam nilai dari sampel tersebut adalah 

4, 0, 8, 6, 14, 10

Dengan mengambil 𝛼 = 5%, ujilah apakah sampel tersebut berasal dari populasi berdistribusi normal atau tidak?

1. Hipotesis Statistik

𝐻₀ : Sampel berasal dari populasi berdistribusi normal

𝐻₁ : Sampel tidak berasal dari populasi berdistribusi normal

2. Taraf signifikansi 

α = 0,05

3. Statistik Uji

Apabila data yang diberikan dihitung diperoleh reratanya 7 dan standar deviasinya 4,86. Data diurutkan terlebih dahulu (dari kecil ke besar), kemudian setiap data ditransformasi dengan transformasi baku.

Untuk menentukan nilai F(z_i), lihat tabel normal baku.

Untuk menentukan nilai S(z_i), nomor urut data dibagi banyak data.

Dari tabel terlihat bahwa nilai L hitung = 0,1009 (diambil yang terbesar)

4. Daerah Kritis dan Keputusan Uji

Titik kritis L_α;n = L_0,05;6 = 0,319; sehingga 

DK ={L│L > L_α;n}={L│L > L_0,05;6}={L│L > 0,319}

Karena L = 0,1009 maka L < 0,319. Hal ini menunjukkan bahwa 𝐿 ∉ 𝐷𝐾, sehingga 𝐻₀ diterima.

5. Kesimpulan 

Sampel berasal dari populasi berdistribusi normal. Jadi, berdasarkan uji Lilliefors, sampel data di atas berasal dari populasi yang berdistribusi normal.

2. Uji Homogenitas

Uji homogenitas merupakan uji statistika untuk melihat apakah variansi-variansi dari sejumlah populasi sama (homogen) atau tidak. Uji homogenitas merupakan uji prasyarat untuk beberapa uji statistik lainnya, seperti uji rata-rata dan analisis variansi. Terdapat beberapa statistic uji untuk menguji homogenitas varians antar populasi.

• Untuk menguji varians 𝑘 populasi dapat digunakan uji Bartlett.

• Secara khusus, untuk menguji varians 2 populasi dapat digunakan uji 𝐹.

Hipotesis Statistik

𝐻₀: 𝜎_i² = 𝜎_j²; ∀i, j (Variansi populasi Homogen)

𝐻₁: 𝜎_i² ≠ 𝜎_j²; ∃i, j dengan i ≠ j (Varians populasi Tidak Homogen)

dengan i = 1, 2, ..., 𝑘 dan j = 1, 2, ..., 𝑘.

A. Uji Homogenitas 𝑘 populasi

➢ Uji homogenitas untuk 𝑘 populasi dapat dilakukan dengan menggunakan uji Bartlett. Adapun statistik uji yang digunakan adalah:

dengan:

• 𝑠₁², 𝑠₁²,…, 𝑠_𝑘² adalah varians dari setiap sampel berukuran 𝑛₁, 𝑛₂, …, 𝑛_𝑘 dengan rumusan:

• 𝑠_𝑝² adalah varians gabungan yang dirumuskan:

untuk 𝑁 = 𝑛₁ + 𝑛₂ + … + 𝑛_𝑘 
➢ Daerah Kritis

DK = {b│b < b_𝑘(α; 𝑛₁, 𝑛₂, …, 𝑛_𝑘)} dengan

b_𝑘(α; 𝑛_𝑖) dapat dilihat pada tabel Bartlett untuk 𝑛_𝑖 menunjukkan banyak anggota kelompok ke-i.
Tabel Bartlett untuk α = 0,01 dan α = 0,05:

contoh:

Untuk menguji apakah model A, B, dan C memiliki varians yang sama, secara random diambil sampel acak sebanyak 4 buah untuk model A, 6 buah untuk model B, dan 5 buah untuk model C dengan data sebagai berikut.

A : 4, 7, 6, 6

B : 5, 1, 3, 5, 3, 4

C : 8, 6, 8, 9, 5

Dengan menggunakan 𝛼 = 5%, bagaimanakah kesimpulan penelitian?

Diketahui : N = 15, 𝑘 = 3 (banyak kelompok), 𝑛₁ = 4, 𝑛₂ = 6, dan 𝑛₃ = 5.

1. Hipotesis Statistik

𝐻₀: 𝜎₁² = 𝜎₂² = 𝜎₃² (Variansi ketiga populasi sama)

𝐻₁: Tidak semua varians sama (Varians ketiga populasi tidak sama)

2. Taraf Signifikansi

α = 0,05

3. Statistik Uji

a. Menghitung varians sampel dan varians gabungan

b. Menghitung nilai b

4. Daerah Kritis dan Keputusan Uji
Titik kritis 𝑏₃(0,05; 4) = 0,4669; 𝑏₃(0,05; 6) = 0,6483; 𝑏₃(0,05; 5) = 0,5762 (tabel Bartlett)

DK = {b | b < 𝑏₃(0,05; 4, 6, 5) }={b | b < 0,5767}

Karena 𝑏 = 0,9805 maka 𝑏 > 0,5767. Hal ini berarti 𝑏 ∉ 𝐷𝐾, akibatnya 𝐻₀ diterima.

5. Kesimpulan

Varians-varians dari ketiga populasi sama (homogen).

B. Bentuk Lain Uji Bartlett

Statistik uji homogenitas (Uji Bartlett) dengan Chi-Kuadrat

Keterangan

𝑘: Banyak populasi = Banyak sampel

N: Banyak seluruh nilai

𝑛_𝑗: Banyak nilai sampel ke-j = ukuran sampel ke-j 

𝑓_𝑗 = 𝑛_𝑗 − 1: Derajat kebebasan untuk 𝑠_𝑗²; j = 1, 2, 3, …, k

𝑓 = 𝑁 − 𝑘 = ∑𝑓_𝑗: Derajat kebebasan untuk RKG

Daerah Kritis

contoh:

Untuk menguji apakah model A, B, dan C memiliki varians yang sama, secara random diambil sampel acak sebanyak 4 buah untuk model A, 6 buah untuk model B, dan 5 buah untuk model C dengan data sebagai berikut.

A : 4, 7, 6, 6

B : 5, 1, 3, 5, 3, 4

C : 8, 6, 8, 9, 5

Dengan menggunakan 𝛼 = 5%, bagaimanakah kesimpulan penelitian?

1. Hipotesis Statistik

𝐻₀: 𝜎₁² = 𝜎₂² = 𝜎₃² (Variansi ketiga populasi sama)

𝐻₁: Tidak semua varians sama (Varians ketiga populasi tidak sama)

2. Taraf Signifikansi

α = 0,05

3. Statistik Uji

𝑓₁ = 4 − 1 = 3; 

𝑓₂ = 6 − 1 = 5; 

𝑓₃ = 5 − 1 = 4; 

f = ∑𝑓_𝑗 = 3 + 5 + 4 = 12

Tabel bantu untuk SS sebagai berikut:

SS₁ = 137 − 132,25 = 4,75

Untuk SS₂ dan SS₃ apabila dilakukan cara yang sama akan diperoleh SS₂ = 11,5 dan SS₃ = 10,8

Tabel bantu untuk 𝜒² sebagai berikut:

𝑓 × log⁡(𝑅𝐾𝐺) = 12 × log(2,254) = 12(0,353) = 4,326

4. Daerah Kritis

5. Keputusan Uji

Karena 𝜒² = 0,216 maka 𝜒² < 5,991465. Hal ini berarti 𝜒² ∉ 𝐷𝐾, sehingga 𝐻₀ diterima.

6. Kesimpulan

Varians-varians dari ketiga  populasi tersebut adalah sama (homogen).

C. Kasus Khusus: Uji Homogenitas Dua Populasi Independen

Hipotesis Statistik 

𝐻₀: 𝜎₁² = 𝜎₂² 

𝐻₁: 𝜎₁² ≠ 𝜎₂² 

dengan 𝜎₁² varians populasi ke-1; 𝜎₂² variansi populasi ke-2. 

Statistik Uji F

Daerah Kritis

dengan

𝑣₁ = 𝑛₁ − 1 untuk 𝑛₁ adalah ukuran sampel dengan varians terbesar

𝑣₂ = 𝑛₂ − 1 untuk 𝑛₂ adalah ukuran sampel dengan varians terkecil

Contoh

Misalkan disajikan skor ujian statistika dari dua kelas sebagai berikut:

Kelas A : 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 9

Kelas B : 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8

Dengan menggunakan taraf signifikansi 5%, apakah kedua populasi dari kedua kelas tersebut homogen?

1. Hipotesis

𝐻₀: 𝜎₁² = 𝜎₂² (Varians kedua populasi homogen)

𝐻₁: 𝜎₁² ≠ 𝜎₂² (Varians kedua populasi tidak homogen)

dengan 𝜎₁² varians populasi kelas A; 𝜎₂² variansi populasi kelas B.

2. Taraf Signifikansi

𝛼 = 0,05

3. Statistik Uji

sehingga s_A² = 2,696 > s_B² = 1,071

4. Daerah Kritis dan Keputusan Uji

Karena F = 2,517 maka F < 3,79. Hal ini menunjukkan bahwa 𝐹 ∉ 𝐷𝐾, sehingga 𝐻₀ diterima.

5. Kesimpulan

Varians dari kedua populasi homogen.  

3. Hubungan Uji Normalitas, Homogenitas, dan Komparasi Rerata

Berikut disajikan hubungan dan alur pengujian antara uji normalitas, uji homogenitas, dan uji rerata:

Uji normalitas untuk menentukan apakah data akan diuji parametrik atau non-parametrik. Suatu data diuji parametrik jika dan hanya jika terdistribusi normal.

Untuk uji parametrik, uji homogenitas untuk menentukan apakah data akan diuji reratanya menggunakan t atau t'. Untuk data yang homogen dilakukan uji t, sedangkan data yang tidak homogen dilakukan uji t'.