Uji Proporsi dan Uji Varians

A. Uji Proporsi

1. Uji Dua Pihak

Misalkan terdapat populasi berdistribusi binomial dengan proporsi persitiwa A sama dengan 𝜋 . Sebuah sampel acak diambil dari populasi dan akan diuji dua pihak.

Hipotesis

𝐻₀: 𝜋 = 𝜋₀ 

𝐻₁:𝜋 ≠ 𝜋₀ 

Statistik Uji Pendekatan Distribusi Normal

Daerah Kritis

dengan nilai kritis z dari tabel normal baku.
2. Uji Satu Pihak

• Pihak Kanan

Hipotesis

𝐻₀: 𝜋 ≤ 𝜋₀ 

𝐻₁:𝜋 > 𝜋₀ 

Statistik Uji Pendekatan Distribusi Normal

Daerah Kritis

dengan nilai kritis z dari tabel normal baku.

• Pihak Kiri

Hipotesis

𝐻₀: 𝜋 ≥ 𝜋₀ 

𝐻₁:𝜋 < 𝜋₀ 

Statistik Uji Pendekatan Distribusi Normal

Daerah Kritis

dengan nilai kritis z dari tabel normal baku.

contoh:

Seorang pejabat mengatakan bahwa paling banyak 54% anggota masyarakat merupakan pemilihnya dalam Pemilu. Sebuah sampel acak telah diambil yang terdiri dari 9.775 orang yang didalamnya terdapat 5.425 orang adalah orang yang memilih pejabat tersebut. Jika diambil taraf signifikansi 5%, bagaimanakah kesimpulan terhadap pernyataan pejabat tersebut?

Diketahui 𝜋₀ = 54%; 𝑛 = 9.775 dan 𝑥 = 5.425

1. Hipotesis

𝐻₀: 𝜋 ≤ 0,54

𝐻₁:𝜋 > 0,54

2. Taraf Signifikansi

𝛼 = 0,05

3. Statistik Uji

4. Daerah Kritis

5. Keputusan
𝐻₀ ditolak karena z = 2,973058 > 1,64485.

6. Kesimpulan

Proporsi anggota masyarakat yang memilih pejabat tersebut sudah melampaui 54%, sehingga pernyataan pejabat tersebut tidak benar.

B. Uji Dua Proporsi

1. Uji Dua Pihak

Misalkan terdapat dua populasi binomial yang didalamnya terdapat proporsi peristiwa A sebesar 𝜋₁ dan 𝜋₂. Dari setiap populasi diambil sebuah sampel acak berukuran masing-masing 𝑛₁ dan 𝑛₂ yang didalamnya terdapat proporsi peristiwa A masing-masing sebesar 𝑥₁/𝑛₁ dan 𝑥₂/𝑛₂. Akan diuji hipotesis sebagai berikut:

Hipotesis

𝐻₀: 𝜋₁ = 𝜋₂ 

𝐻₁: 𝜋₁ ≠ 𝜋₂ 

Statistik Uji

Daerah Kritis

dengan nilai kritis z dari tabel normal baku.
2. Uji Satu Pihak

• Pihak Kanan

Hipotesis

𝐻₀: 𝜋₁ ≤ 𝜋₂ 

𝐻₁: 𝜋₁ > 𝜋₂ 

Statistik Uji

Daerah Kritis

dengan nilai kritis z dari tabel normal baku.

• Pihak Kiri

Hipotesis

𝐻₀: 𝜋₁ ≥ 𝜋₂ 

𝐻₁: 𝜋₁ < 𝜋₂ 

Statistik Uji

Daerah Kritis

dengan nilai kritis z dari tabel normal baku.
contoh:

Pemilik Bimbingan Tes A dan pemilik Bimbingan Tes B mengklaim bahwa bimbingan tes yang dimilikinya paling baik. Seorang peneliti menduga bahwa keduanya sama baiknya. Untuk menguji dugaannya, peneliti tersebut menggunakan data proporsi diterima atau tidaknya peserta bimbingan tes di PTN sebagai indikator kualitas bimbinga tes. Secara random, dari Bimbingan A diambil 150 orang peserta dan 100 orang diantaranya diterima di PTN. Dari Bimbingan B diambil 200 orang peserta dan 130 orang diantaranya diterima di PTN. Dengan 𝛼 = 5% bagaimanakah kesimpulan peneliti?

Misalkan 

𝜋₁ proporsi peserta Bimbingan A diterima PTN

𝜋₂ proporsi peserta Bimbingan B diterima PTN

1. Hipotesis

Hipotesis

𝐻₀: 𝜋₁ = 𝜋₂ 

𝐻₁: 𝜋₁ ≠ 𝜋₂ 

2. Taraf Signifikansi

𝛼 = 5% = 0,05

3.Statistik Uji

4. Daerah Kritis

5. Keputusan
𝐻₀ diterima karena −1,96 < z < 1,96

6. Kesimpulan

Kualitas bimbingan tes A dan bimbingan tes B sama baiknya.

C. Uji Variansi

1. Uji Dua Pihak

Ketika menguji rata-rata 𝜇 untuk populasi normal, nilai simpangan baku 𝜎 dapat diketahui berdasarkan pengalaman, sehingga untuk menentukan besarnya diadakan pengujian. Misalkan terdapat populasi berdistribusi normal dengan varians 𝜎² dan diambil sebuah sampel acak berukuran n.

Hipotesis

𝐻₀: 𝜎² = 𝜎₀²

𝐻₁: 𝜎² ≠ 𝜎₀²

Statistik Uji

Daerah Kritis

dengan nilai kritis 𝜒² dari tabel chi kuadrat dengan dk = 𝑛 − 1.

2. Uji Satu Pihak

• Pihak Kanan

Hipotesis

𝐻₀: 𝜎² ≤ 𝜎₀²

𝐻₁: 𝜎² > 𝜎₀²

Statistik Uji

Daerah Kritis

dengan nilai kritis 𝜒² dari tabel chi kuadrat dengan dk = 𝑛 − 1.

• Pihak Kanan

Hipotesis

𝐻₀: 𝜎² ≥ 𝜎₀²

𝐻₁: 𝜎² < 𝜎₀²

Statistik Uji

Daerah Kritis

dengan nilai kritis 𝜒² dari tabel chi kuadrat dengan dk = 𝑛 − 1.

contoh:

Sebuah perusahan mengatakan bahwa sebelum diadakan perubahan dalam proses produksi, deviasi bakunya adalah 25 gr. Setelah diadakan perubahan dalam proses produksi, pengusaha ingin melihat apakah deviasi bakunya lebih baik dari sebelumnya. Untuk itu dilakukan penelitian dengan mengambil sampel berukuran 12 sehingga diperoleh deviasi baku 32 gr. Jika diambil 𝛼 = 1% , bagaimanakah kesimpulan penelitian tersebut?

Diketahui 𝜎₀ = 25; 𝑛 = 12; 𝑠 = 32

1. Hipotesis 

𝐻₀: 𝜎 ≤ 25

𝐻₁: 𝜎 > 25

2. Taraf Signifikansi

α = 0,05

3. Statistik Uji

4. Daerah Kritis
Titik kritis = nilai 𝜒² dari tabel dengan α = 0,05 dan dk = 12 − 1, yaitu 19,675138.

DK = {𝜒² | 𝜒² > 19,675138}

5. Keputusan

𝐻₀ diterima karena 𝜒² < 19,675138

6. Kesimpulan

Dugaan peneliti tidak benar karena deviasi baku setelah ada perubahan proses produksi tidak lebih dari 25 gr.

D. Uji Dua Variansi

1. Uji Dua Pihak

Ketika menaksir selisih rata-rata dan menguji kesamaan dua rata-rata diharuskan adanya asumsi kesamaan variansi sehingga pengujian dapat berlangsung. Populasi dengan varians yang sama disebut populasi dengan varians yang homogen. Misalkan terdapat dua populasi berdistribusi normal dengan varians 𝜎₁² dan 𝜎₂². Jika diambil sampel acak dari kedua populasi berukuran 𝑛₁ dengan 𝑠₁² dan berukuran 𝑛₂ dengan 𝑠₂².

Hipotesis

𝐻₀: 𝜎₁² = 𝜎₂² 

𝐻₁: 𝜎₁² ≠ 𝜎₂² 

Statistik Uji F

Daerah Kritis

dengan nilai kritis F dari tabel F dengan dk untuk pembilang dan penyebut.
2. Uji Satu Pihak

• Pihak Kanan

Hipotesis

𝐻₀: 𝜎₁² ≤ 𝜎₂² 

𝐻₁: 𝜎₁² > 𝜎₂² 

Statistik Uji F

Daerah Kritis

dengan nilai kritis F dari tabel F dengan dk untuk pembilang dan penyebut.

• Pihak Kiri

Hipotesis

𝐻₀: 𝜎₁² ≥ 𝜎₂² 

𝐻₁: 𝜎₁² < 𝜎₂² 

Statistik Uji F

Daerah Kritis

contoh:

Untuk melihat apakah distribusi nilai matematika siswa laki-laki lebih menyebar dibandingkan nilai matematika siswa perempuan, dilakukan penelitian dengan mengambil sampel random 21 siswa laki-laki dan 19 siswa perempuan. Ternyata deviasi baku siswa laki-laki 4 dan siswa perempuan 3. Bagaimanakah kesimpulan penelitian jika 𝛼 = 5%?

Misalkan

𝜎₁ : Deviasi baku siswa laki-laki dengan 𝑠₁ = 4

𝜎₂ : Deviasi baku siswa perempuan dengan 𝑠₂ = 3

1. Hipotesis

𝐻₀: 𝜎₁² ≤ 𝜎₂² 

𝐻₁: 𝜎₁² > 𝜎₂² 

2. Taraf Signifikansi

α = 0,05

3. Statistik Uji

4. Daerah Kritis

5. Keputusan

𝐻₀ diterima karena 𝐹 < 2,1906

6. Kesimpulan

Distribusi nilai matematika siswa laki-laki tidak lebih menyebar dibandingkan dengan distribusi nilai siswa perempuan.