Variabel Random Diskrit

Variabel random diskrit X adalah variabel random yang nilai-nilai variabelnya dapat didaftar yaitu:

x₁, x₂, …, x_n (Hingga) atau

x₁, x₂, …, x_∞ (Tak Hingga).

Variabel random diskrit hingga dapat dihimpun sebagai himpunan hingga (finite set), sedangkan variabel random diskrit tak hingga dapat dihimpun sebagai himpunan denumerabel (denumerable set / countable infinite set).

1. Fungsi Peluang

Misalkan X adalah suatu variabel random diskrit. Fungsi 𝑓(𝑥) = P(X = 𝑥) disebut fungsi peluang variabel random X jika dan hanya jika:

1) 𝑓(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 di domain f; dan

2) (Σ𝑥).𝑓(𝑥) = 1

contoh:

1. Misalkan A melakukan pelemparan tiga koin seimbang sekaligus. X adalah kejadian munculnya mata G, maka tentukan distribusi peluang X!

Ruang sampel S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG} dan X adalah kejadian muncul G.

P(X = 0) = ⅛, P(X = 1) = ⅜, P(X = 2) = ⅜ dan P(X = 3) = ⅛.

Jadi, distribusi peluang dari X adalah:

P(X = 𝑥) merupakan fungsi peluang dengan domainnya adalah {0, 1, 2, 3} dan range nya adalah {⅛, ⅜}.

2. Diketahui fungsi peluang dari variabel acak X berbentuk:

Tentukan nilai k!
Karena 𝑝(𝑥) memenuhi fungsi peluang, diharuskan:

sehingga:

⅕(k.0 + 1) + ⅕(k.1 + 1) + ⅕(k.2 + 1) + ⅕(k.3 + 1) = 1

⅕(1 + k + 1 + 2k + 1 + 3k + 1) = 1

6k + 4 = 5

6k = 5 − 4 = 1

k = ⅙

Jadi, nilai k adalah ⅙.

2. Peluang Interval

A. Interval Terbuka

Misalkan f(x) adalah fungsi peluang variabel random diskrit X. Peluang bahwa X terletak antara a dan b, yaitu P(a < X < b) dinyatakan dengan:

B. Interval Tertutup

Misalkan f(x) adalah fungsi peluang variabel random diskrit X. Peluang bahwa X terletak antara a dan b dalam interval tertutup, yaitu P(a ≤ X ≤ b) dinyatakan dengan:

contoh:

Misalkan fungsi peluang dari variabel acak X berbentuk:

P(X = 3) adalah 1/20 × (3 + 2) = 5/20 = ¼

P(0 < X < 4) adalah:

3. Ekspektasi Variabel Random Diskrit

Misalkan X variabel random diskrit dengan nilai 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃,… , 𝑥_n dan fungsi peluang 𝑓. Ekspektasi (nilai harapan) variabel random diskrit X yang dinotasikan E(X) dirumuskan:

Jika ekspektasi variabel random di atas diperluas, maka diperoleh rumusan:

E(X^r) disebut juga momen ke-r disekitar 0 pada populasi X.

contoh:

Misal dalam pelemparan dadu seorang pemain mendapatkan 50 poin untuk matadadu 6, 20 poin untuk matadadu bilangan kuadrat, dan 0 poin untuk matadadu bilangan prima. Tentukan E(X), dan E(X²)!

Sebuah dadu memiliki 6 sisi, dengan matadadunya S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, sehingga n(S) = 6.

• Pemain mendapatkan 50 poin ketika matadadu 6, sehingga P(X = 50) = ⅙.

• Pemain mendapatkan 20 poin ketika matadadu bilangan kuadrat, yaitu {1, 4}, sehingga P(X = 20) = ⅓.

• Pemain mendapatkan 0 poin ketika matadadu bilangan prima, yaitu {2, 3, 5}, sehingga P(X = 0) = ½.

Jadi, nilai ekspektasi untuk X adalah 15 dan nilai ekspektasi untuk X² adalah 550.

4. Fungsi Distribusi Kumulatif Diskrit

F(x) adalah fungsi distribusi kumulatif atau fungsi distribusi dari variabel random diskrit X jika dan hanya jika:

F(𝑥) = P(X ≤ 𝑥) = (Σ𝑢).𝑓(𝑢), dengan 𝑢 ≤ 𝑥; 𝑥 bilangan real.

Perhatikan bahwa F(𝑥) = P(X ≤ 𝑥) adalah jumlah dari semua nilai u yang kurang dari atau sama dengan 𝑥. Sedangkan fungsi peluang 𝑓(𝑥) itu sendiri dapat diturunkan dari fungsi distribusi F(x), dapat dinyatakan dengan 𝑓(𝑥) = F(𝑥) − F(𝑥 − 1).

Hubungan antara f(x) dengan F(x) pada distribusi diskrit adalah f(x) sebagai barisan dan F(x) sebagai deret, sehingga nilai F(u) merupakan jumlah seluruh nilai f(u) dengan u ≤ x.

Misalkan X adalah variabel random diskrit dengan nilai x₁, x₂, …, x_n. Fungsi distribusi F(x) dinyatakan dengan:

bisa juga dinyatakan dalam sigma:

contoh:

1. Diketahui fungsi peluang variabel random diskrit X sebagai berikut:

X	0	1	2
f(x)	⅙	½	⅓

Fungsi distribusi :

Untuk 𝑥 < 0, maka 𝐹(𝑥) = 0

Untuk 0 ≤ 𝑥 < 1, maka 𝐹 𝑥 = 𝑓(0) = ⅙

Untuk 1 ≤ 𝑥 < 2, maka 𝐹 𝑥 = 𝑓(0) + 𝑓(1) = ⅙ + ½ = ⅔

Untuk 𝑥 ≥ 2, maka 𝐹 𝑥 = 𝑓(0) + 𝑓(1) + 𝑓(2) = ⅙ + ½ + ⅓ = 1

Sehingga

2. Misal diketahui:

Tentukan fungsi peluang untuk variabel random X!

Untuk 𝑥 = 0, maka 𝑓(𝑥) = ⅓

Untuk 𝑥 = 1, maka 𝑓(𝑥) = ⅚ − ⅓ = ½

Untuk 𝑥 = 2, maka 𝑓(𝑥) = 1 − ⅚ = ⅙

Sehingga fungsi peluang variabel X:

X	0	1	2
f(x)	⅓	½	⅙