Variabel Random Kontinu (Stadas)

Variabel random kontinu merupakan variabel random yang tidak diskrit. Variabel random X disebut variabel random kontinu jika setiap nilai dari X adalah suatu interval pada garis bilangan real (nilainya tidak dapat didaftar).

Nilai variabel random kontinu : −∞ < X < ∞

1. Fungsi Densitas (Fungsi Peluang Variabel Kontinu)

Misalkan X adalah suatu variabel random kontinu. Fungsi 𝑓(𝑥) = P(X = 𝑥) disebut fungsi densitas variabel random X jika dan hanya jika:

2. Peluang Interval

Misalkan X variabel random kontinu yang memiliki fungsi densitas 𝑓(𝑥). Peluang bahwa X terletak antara 𝑎 dan 𝑏, yaitu P(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) dinyatakan dengan:

Jika X variabel random kontinu dan 𝑎 < 𝑏 dengan 𝑎 dan b bilangan real, maka:

𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏)

Hal ini berlaku dikarenakan variabel X bersifat kontinu, sehingga peluang interval terbuka dan interval tertutup adalah sama, asalkan batas-batasnya sama.

contoh:

Misalkan fungsi densitas peubah acak X adalah:

Tentukan nilai k dan peluang P(1 < X < 3)!

telah diperoleh nilai k, yaitu ½, untuk P(1 < X < 3):

Jadi, peluang nilai X diantara 1 dan 3 adalah ¾.

3. Ekspektasi Variabel Random Kontinu

Misalkan X adalah variabel random kontinu dengan fungsi densitas 𝑓. Ekspektasi (nilai harapan) variabel random kontinu X yang dinotasikan E(X) dirumuskan:

Jika ekspektasi variabel random di atas diperluas, maka diperoleh rumusan:

contoh:

Misalkan fungsi densitas variabel X dinyatakan dengan:

Tentukan nilai 𝐸(𝑋)!

Jadi, nilai ekspektasinya adalah 1.

4. Fungsi Distribusi Kumulatif Kontinu

F(x) adalah fungsi distribusi kumulatif atau fungsi distribusi dari variabel random kontinu X jika dan hanya jika:

Jika X adalah variabel random kontinu dengan fungsi

distribusi F(𝑥) dan fungsi densitas 𝑓(𝑥), maka 

1. P(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

2. Fungsi densitasnya dapat dicari dengan:

Fungsi densitas adalah turunan dari fungsi distribusi.

contoh:

1. Misalkan fungsi densitas variabel X adalah:

Tentukan fungsi distribusi dari X!

Untuk 𝑥 < 0, maka 𝐹(𝑥) = 0

Untuk 0 ≤ 𝑥 < 2:

Untuk 𝑥 ≥ 2:

Jadi fungsi distribusi variabel random kontinu X adalah:

Sehingga P(1 < 𝑋 < 2) = 𝐹(2) − 𝐹(1) = 1 − ¼ = ¾.

2. Diketahui fungsi distribusi variabel kontinu X adalah:

Tentukan fungsi densitas X!

Untuk 𝑥 < 0:

Untuk 0 ≤ 𝑥 < 3:

Untuk 𝑥 ≥ 3:

Sehingga fungsi densitasnya adalah: