Basis untuk Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Nol

1. Basis untuk Ruang Nol

Kita pertama kali mengembangkan operasi baris elementer untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, dan kami tahu dari pekerjaan tersebut bahwa melakukan operasi baris elementer pada matriks gabungan tidak mengubah himpunan solusi dari SPL yang bersesuaian. Hal ini menunjukkan bahwa menerapkan operasi baris elementer pada matriks A tidak mengubah himpunan solusi dari sistem linear Ax = 0, atau, dinyatakan dengan cara lain, tidak mengubah ruang null dari A. Dapat dinyatakan sebagai:

"Operasi baris elementer tidak mengubah ruang nol dari sebuah matriks"

Tidak peduli seberapa banyak kita melakukan operasi baris elementer pada suatu matriks A, himpunan semua solusi dari persamaan Ax = 0 (yaitu, ruang nol-nya) akan selalu sama.

contoh:

Diberikan matriks A sebagai berikut:

2	2	–1	0	1
–1	–1	2	–3	1
1	1	–2	0	–1
0	0	1	1	1

Ruang nol dari matriks A adalah ruang solusi SPL homogen:

Basis dari ruang solusinya adalah v₁ = (–1, 1, 0, 0, 0) dan v₂ = (–1, 0, –1, 0, 1).

2. Basis untuk Ruang Baris

Klaim: "Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris dari matriks"

Bukti:

Misalkan vektor-vektor baris dari sebuah matriks A adalah r₁, r₂, ..., r_m, dan misalkan B diperoleh dari A dengan melakukan satu operasi baris elementer. Kita akan menunjukkan bahwa setiap vektor dalam ruang baris dari B juga berada dalam ruang baris dari A, dan sebaliknya, setiap vektor dalam ruang baris dari A berada dalam ruang baris dari B. Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa A dan B memiliki ruang baris yang sama.

Untuk OBE dengan pertukaran baris, B dan A memiliki vektor-vektor baris yang sama dan akibatnya memiliki ruang baris yang sama.

Untuk OBE dengan perkalian sebuah baris dengan skalar tak-nol atau penjumlahan kelipatan suatu baris pada baris yang lainnya, vektor-vektor baris dari B adalah kombinasi linear dari r₁, r₂, ..., r_m, sehingga mereka terletak dalam ruang baris dari A. Karena ruang vektor tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar, semua kombinasi linear dari r₁, r₂, ..., r_m juga akan terletak dalam ruang baris dari A. Oleh karena itu, setiap vektor dalam ruang baris dari B berada dalam ruang baris dari A.

Karena B diperoleh dari A dengan melakukan satu operasi baris, A dapat diperoleh dari B dengan melakukan operasi invers. Dengan demikian, argumen di atas menunjukkan bahwa ruang baris dari A terkandung dalam ruang baris dari B. ■

Tambahan:

Meskipun operasi baris elementer dapat mengubah ruang kolom dari sebuah matriks, kita akan menunjukkan bahwa hubungan ketergantungan atau kebebasan linear apa pun di antara vektor-vektor kolom sebelum operasi baris dilakukan akan tetap berlaku untuk vektor-vektor kolom yang sesuai pada matriks hasil operasi baris tersebut. Untuk membuat hal ini lebih tepat, misalkan matriks B diperoleh dari matriks A berukuran m × n dengan melakukan satu operasi baris elementer.

Kedua sistem persamaan linear homogen Ax = 0 dan Bx = 0 memiliki himpunan solusi yang sama. Dengan demikian, sistem pertama memiliki solusi nontrivial jika dan hanya jika sistem kedua juga memiliki solusi nontrivial.

Tetapi jika vektor-vektor kolom dari A dan B, masing-masing adalah:

c₁, c₂, ..., c_n dan c₁', c₂', ..., c_n'

kedua sistem dapat dituliskan sebagai:

x₁c₁ + x₂c₂ + ... + x_nc_n = 0 (i)

x₁c₁' + x₂c₂' + ... + x_nc_n' = 0 (ii)

Dengan demikian, persamaan (i) memiliki solusi nontrivial untuk x₁, x₂, ..., xₙ jika dan hanya jika persamaan (ii) juga memiliki solusi nontrivial. Ini menyiratkan bahwa vektor-vektor kolom dari A secara linear independen jika dan hanya jika vektor-vektor kolom dari B juga secara linear independen. Meskipun kita akan menghilangkan buktinya, kesimpulan ini juga berlaku untuk setiap subset dari vektor-vektor kolom.

Meskipun operasi baris elementer dapat mengubah tampilan matriks secara keseluruhan, hubungan ketergantungan linear antara vektor-vektor kolomnya tidak berubah. Dengan mengubah masalah menjadi sistem persamaan linear homogen, kita dapat melihat bahwa jika ada kombinasi linear nontrivial dari vektor-vektor kolom yang menghasilkan vektor nol sebelum operasi baris, maka kombinasi linear yang sama juga akan menghasilkan vektor nol setelah operasi baris. Ini menunjukkan bahwa ketergantungan linear tidak berubah. Hasil ini berlaku tidak hanya untuk semua vektor kolom, tetapi juga untuk setiap subset dari vektor-vektor kolom.

Operasi baris elementer adalah alat yang kuat untuk memanipulasi matriks, tetapi mereka tidak mengubah sifat dasar dari hubungan linear antara vektor-vektor kolom. Ketergantungan linear adalah sifat intrinsik dari vektor-vektor kolom, dan sifat ini tidak terpengaruh oleh operasi baris elementer.

3. Matriks-Matriks yang Ekivalen Baris

Jika A dan B adalah matriks yang ekivalen baris, maka:

(a) Himpunan vektor kolom tertentu dari A bebas linear jika dan hanya jika himpunan vektor kolom yang bersesuaian dari B juga bebas linear.

(b) Himpunan vektor kolom tertentu dari A membentuk basis untuk ruang kolom A jika dan hanya jika himpunan vektor kolom yang bersesuaian dari B membentuk basis untuk ruang kolom B.

Penjelasan:

Dua matriks dikatakan ekivalen baris jika salah satu dapat diperoleh dari yang lain melalui serangkaian operasi baris elementer.

Poin (a) mengatakan bahwa sifat kebebasan linear dari vektor-vektor kolom tidak berubah ketika kita melakukan operasi baris elementer pada sebuah matriks. Artinya, jika sekelompok vektor kolom dalam matriks A bebas linear, maka kelompok vektor kolom yang sesuai dalam matriks B (yang diperoleh dari A melalui operasi baris elementer) juga akan bebas linear, dan sebaliknya.

Poinn (b) menyatakan bahwa jika sekelompok vektor kolom dalam matriks A membentuk basis untuk ruang kolom A, maka kelompok vektor kolom yang sesuai dalam matriks B juga akan membentuk basis untuk ruang kolom B. Ini berarti bahwa struktur ruang kolom tidak berubah meskipun kita melakukan operasi baris elementer.

Operasi baris elementer tidak mengubah sifat-sifat fundamental dari ruang kolom sebuah matriks, seperti kebebasan linear dan basis. Misalkan kita memiliki matriks A dan melakukan operasi baris elementer untuk mendapatkan matriks B. Jika kita menemukan bahwa r kolom pertama dari A bebas linear, maka kita dapat langsung menyimpulkan bahwa r kolom pertama dari B juga bebas linear tanpa perlu melakukan perhitungan tambahan.

4. Matriks dalam Bentuk Eselon Baris

"Jika matriks R dalam bentuk eselon baris, maka vektor-vektor baris dengan entri 1 utama (yaitu, vektor-vektor baris tak-nol) membentuk basis untuk ruang baris dari R, dan vektor-vektor kolom dengan entri 1 utama dari vektor-vektor baris membentuk basis untuk ruang kolom dari R."

Jika kita memiliki sebuah matriks yang sudah dalam bentuk eselon baris, kita dapat dengan mudah menemukan basis untuk ruang baris dan ruang kolomnya dengan hanya melihat posisi entri 1 utama. Vektor-vektor baris dengan entri 1 utama akan membentuk basis untuk ruang baris, dan kolom-kolom yang sesuai dengan posisi entri 1 utama akan membentuk basis untuk ruang kolom.

Contoh soal

Tentukan basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang nol dari matriks berikut:

(i) Ruang baris