Geometri Transformasi

Apa itu geometri transformasi? geometri transformasi adalah geometri (cenderung analitik) yang membahas transformasi.

1. Transformasi

Transformasi T adalah fungsi bijektif dari himpunan V ke himpunan V. Dalam pembahasan ini V adalah bidang Euclides.

Ingat kembali:

• Fungsi bijektif adalah sebuah fungsi yang bersifat surjektif dan injektif.

• Suatu fungsi T: V → V disebut surjektif apabila (∀B ∈ V)(∃A ∈ V) ∋ T(A) = B; B disebut peta dari A atau A disebut prapeta dari B.

• Suatu fungsi T: V → V disebut injektif apabila (∀A ∈ V). A₁ ≠ A₂ ⇒ T(A₁) ≠ T(A₂).

2. Identifikasi Transformasi

Misalkan A ∈ V, ada fungsi T dengan daerah asal V dan daerah hasil juga di V dengan T:V → V yang didefinisikan sebagai berikut:

i) T(A) = A

ii) Jika P ≠ A maka T(P) = Q dengan titik P titik tengah segmen AQ.

Selidiki apakah fungsi T tersebut merupakan transformasi?

• Jelas A memiliki peta yaitu A sendiri

Ambil sebarang titik R ≠ A pada V, karena ada garis yang melalui A dan R (dua titik pada bidang euclide). Jadi ada satu ruas garis AS sehingga ada tepat satu S dengan R antara A dan S sehingga AR = RS. Ini berarti bahwa (∀X ∈ V)(∃!Y) ∋ Y = T(X). Jadi, T merupakan fungsi dan daerah asal T adalah V.

• Apakah T surjektif?

Jelas bahwa A memiliki prapeta yaitu A sendiri.

Ambil sebarang D ≠ A, karena V bidang Euclide (∃!X ∈ garis AD) ∋ AX = XD. Artinya X merupakan titik tengah segmen AD. Sehingga (∀D ∈ V)(∃X ∈ V) ∋ T(X) = D. Jadi, T surjektif

• Apakah T injektif?

Jelas bahwa A merupakan satu-satunya prapeta dari A.

Ambil sebarang dua titik P dan Q dengan keduanya bukan A, akan ditunjukkan bahwa jika P ≠ Q maka T(P) ≠ T(Q). Kontraposisi dari pernyataan tersebut adalah jika T(P) = T(Q) maka P = Q.

Misal T(P) = T(Q) = F, tentunya berlaku AP = PF dan AQ = QF, dengan kata lain P dan Q merupakan titik tengah dari AF. Tentu saja segmen AF hanya memiliki tepat satu titik tengah, sehingga diharuskan P = Q. Ini berarti (∀P, Q ∈ V). T(P) = T(Q) ⇒ P = Q. Jadi, T injektif.

Dikarenakan T surjektif dan injektif, T bijektif. Dan dikarenakan T merupakan fungsi yang memetakan dari V ke V, kita dapati bahwa T merupakan transformasi.

3. Beberapa Istilah dalam Transformasi

• Karena V bidang Euclide maka semua teori dibidang euclide berlaku.

• T memeliki invers dan invers-nya berupa transformasi. Hal ini dikarenakan invers dari fungsi bijektif juga merupakan fungsi bijektif, dan dikarenakan fungsi T memetakan dari V ke V, tentu saja inversnya juga memetakan dari V ke V.

• Transformasi I disebut transformasi Identitas, I(P) = P, untuk setiap P pada V.

• Invarian atau tidak berubah: Unsur-unsur atau relasi yang tertahan terhadap transformasi.

• Kolineasi: Transformasi yang jika dikenakan pada suatu garis menghasilkan garis lagi.

• Isometri: Transformasi yang mempertahankan jarak.

Transformasi U disebut isometri jika untuk sepasang titik A dan B dengan U(A) = A', dan U(B) = B' maka AB = A'B'.