Grup Transformasi

Misalkan S suatu himpunan yang tidak kosong, operasi * pada S. Himpunan S dengan operasi * membentuk Grup jika dipenuhi :

• Tertutup; (∀a, b ∈ S). a * b ∈ S

• Assosiatif; (∀a, b, c ∈ S). a * (b * c) = (a * b) * c

• Ada elemen identitas; (∃e ∈ S) ∋ (∀a ∈ S). e * a = a * e = a

• Tiap elemen S memiliki invers; (∀a ∈ S)(∃a^-1 ∈ S) ∋ a * a^-1 = a^-1 * a = e

1. Himpunan Transformasi dengan Operasi Komposisi Membentuk Grup

Misal H himpunan transformasi, jelas bahwa H tidak kosong, dan operasi komposisi pada H.

• Ketertutupan

Jelas bahwa operasi komposisi pada H bersifat tertutup, karena komposisi dua transformasi merupakan transformasi.

• Asosiatif

Ingat kembali bahwa komposisi fungsi bersifat asosiatif. Dikarenakan transformasi merupakan fungsi, tentunya komposisi transformasi bersifat asosiatif.

• Ada elemen identitas, yaitu I

• Tiap elemen memiliki invers

Ingat kembali bahwa setiap transformasi memiliki invers.

Karena keempat syarat telah terpenuhi, himpunan transformasi dengan operasi komposisi membentuk grup.

2. Himpunan Kolineasi Menyusun Grup

Karena kolineasi merupakan transformasi, dapat dipastikan komposisi kolineasi bersifat asosiatif dan memiliki elemen identitas.

• Ketertutupan

Misalkan V, W kolineasi dan W(g) = g'

(VW)(g) = V(W(g))

= V(g')

= g''

karena W kolineasi maka g' garis, dan karena V kolineasi maka g'' garis. Jadi sifat tertutup terpenuhi.

• Tiap elemen memiliki invers

Misalkan V sebarang kolineasi, dan g suatu garis. Terdapat garis h sehingga V(g) = h.

V^-1(g) = V^-1(V(h)) = (V^-1V)(h) = I(h) = h.

Ini berarti bahwa V^-1 merupakan kolineasi, berarti ada invers V sehingga V^-1V = I.

Jadi, himpunan kolineasi membentuk grup.