Irisan Dua Buah Luasan yang Berpotongan

1. Garis Lurus dan Garis Lengkung

Garis lengkung merupakan irisan dari dua buah luasan yang berpotongan. Oleh karena itu, persamaannya merupakan persamaan dua buah luasan f(x, y, z) = 0, g(x, y, z) = 0 atau dapat ditulis sebagai himpunan:

{(x, y, z) | f(x, y, z) = 0 ∧ g(x, y, z) = 0}

Misalkan f(x,y,z) = 0 dan g(x,y,z) = 0. Pasangan x, y, z yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah koordinat-koordinat titik-titik persekutuan kedua bidang yang dinyatakan oleh persamaan-2 tersebut (Persamaan garis lengkung potong kedua bidang).

contoh:

Garis lengkung {(x, y, z)| 2x + y + z = 8 ∧ x = 2} merupakan perpotongan bidang-bidang datar 2x + y – z = 8 dan x = 2 berarti merupakan sebuah garis lurus.

2. Proyeksi Suatu Garis Lengkung pada Bidang Koordinat

Misal pada garis lengkung c:{(x, y, z)}| f(x, y, z) = 0 ∧ g(x, y, z) = 0} salah satu peubah (misalnya z) dieliminasi terdapat suatu persamaan baru F(x,y) = 0, merupakan silinder yang garis pelukisnya sejajar sumbu Z serta melalui k, berarti merupakan silinder proyektor dari garis lengkung k di atas, ke bidang XOY. Jadi proyeksinya mempunyai persamaan F(x,y) = 0, z = 0. Untuk proyeksi ke bidang YOZ maupun XOZ dapat diterangkan secara analog seperti di atas.

contoh:

Diberikan 2 bola x² + y² + z² = 1 dan x² + (y – 1)² + (z – 1)² = 1, perpotongan keduanya membentuk lingkaran, akan diproyeksikan ke bidang XOY.

Eliminasi variabel z:

x² + y² + z² = 1 (i)

x² + (y – 1)² + (z – 1)² = 1 (ii)

---------------------------------

2y – 1 + 2z – 1 = 0

2y + 2z = 2

z = 1 – y, masukkan ke (i)

x² + y² + (1 – y)² = 1

Jadi, proyeksi perpotongan 2 bola x² + y² + z² = 1 dan x² + (y – 1)² + (z – 1)² = 1 ke bidang XOY adalah x² + y² + (1 – y)² = 1.

3. Menggambar Grafik Permukaan pada Ruang Dimensi Tiga

- Cari jejak, yakni kurva perpotongan permukaan dengan bidang-bidang koordinat

- Jika permukaan tidak berpotongan dengan bidang koordinat, carilah penampang, yakni perpotongan permukaan dengan bidang yang secara khusus dipilih (biasanya bidang yang sejajar dengan bidang koordinat)