Jarak Titik ke Bidang, Berkas dan Jaringan Bidang
1. Jarak Titik ke Bidang
Misalkan sebuah bidang datar W dengan persamaan dari normal Hesse adalah:
x.cos(𝛼) + y.cos(𝛽) + z.cos(𝛾) − p = 0
dan sebuah titik P(x1, y1, z1) yang terletak diluar bidang.
Misalkan jarak dari P ke W adalah d, buat bidang V sejajar dengan W melalui P:
x.cos(𝛼) + y.cos(𝛽) + z.cos(𝛾) − (p ± d) = 0, karena P terletak di V berlaku:
x1.cos(𝛼) + y1.cos(𝛽) + z1.cos(𝛾) − p = ± d
d = |x1.cos(𝛼) + y1.cos(𝛽) + z1.cos(𝛾) − p| = |x1.𝜆A + y1.𝜆B + z1.𝜆C + 𝜆D|
Begitu juga menentukan jarak dua bidang sejajar, dengan memilih satu titik pada salahsatu bidang, lalu ditentukan jarak titik ke bidang.
contoh:
Tentukan persamaan bidang datar W yang tegak lurus dengan U: 3x − y + z = 0 dan V: x + 5y + 3z = 0, serta berjarak √6 dari O!
Misal persamaan bidang W: Ax + By + Cz + D = 0
W ⊥ U sehingga berlaku: 3A − B + C = 0 (i)
W ⊥ V sehingga berlaku: A + 5B + 3C = 0 (ii)
3(i) − (ii) → 8A − 8B = 0 ⇔ A = B (iii)
(i) − 3(ii) → −16B − 8C = 0 ⇔ C = −2B (iv)
Masukkan (iii) dan (iv) ke persamaan bidang W, menjadi Bx + By − 2Bz + D = 0
W berjarak √6 dari O sehingga berlaku:
Misal dipilih B = 1, persamaan bidang W adalah x + y − 2z ± 6 = 0
2. Berkas Bidang
Untuk dua bidang sejajar, kombinasi linear V1 + 𝜆V2 = 0 menyatakan himpunan bidang datar yang sejajar dengan keduanya.
Untuk dua bidang berhimpit, kombinasi linear V1 + 𝜆V2 = 0 menyatakan bidang itu juga untuk berapapun nilai 𝜆.
contoh:
Tentukan bidang datar W yang melalui garis potong V1: x − 3y + z − 7 = 0 dan V2: 2x − y + 3z − 5 = 0 serta:
a. Tegak lurus V3: 8x + y − 5z + 7 = 0 (Minfor mempersilahkan Sixtyfourians untuk mencoba sendiri yeah)
b. Sejajar V4: x + 2y + 2z − 4 = 0
Kombinasi linear dari V1 + 𝜆V2 = 0 adalah:
x − 3y + z − 7 + 𝜆(2x − y + 3z − 5) = 0
(1 + 2𝜆)x + (−3 − 𝜆)y + (1 + 3𝜆)z − 7 − 5𝜆 = 0
Karena sejajar x + 2y + 2z − 4 = 0 berlaku:
1 + 2𝜆 = (1 + 3𝜆)/2, kalikan masing-masing ruas dengan 2
2 + 4𝜆 = 1 + 3𝜆
4𝜆 − 3𝜆 = 1 − 2
𝜆 = −1, masukkan ke kombinasi linear
x − 3y + z − 7 −(2x − y + 3z − 5) = 0
x − 3y + z − 7 − 2x + y − 3z + 5 = 0
−x − 2y − 2z − 2 = 0
x + 2y + 2z + 2 = 0
3. Jaringan Bidang
Misalkan dua bidang V1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0, V2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0, dan V3: A3x + B3y + C3z + D3 = 0 ketiganya berpotongan dan tidak pada berkas yang sama. Kombinasi linear V1 + 𝜆V2 + 𝜇V3 = 0 menyatakan himpunan bidang datar yang melalui titik potong ketiganya, himpunan ini disebut sebagai Jaringan Bidang.
contoh: Diketahui tiga bidang datar V1: 2x − y + 3z − 5 = 0, V2: −2x + y + 3z − 3 = 0, dan V3: x + 2y + 3z + 6 = 0. Tentukan bidang datar yang melalui titik potong ketiganya dan sejajar dengan V4 : x – y – 2z + 3 = 0.
Kombinasi linear dari ketiganya V1 + 𝜆V2 + 𝜇V3 = 0
2x − y + 3z − 5 + 𝜆(−2x + y + 3z − 3) + 𝜇(x + 2y + 3z + 6) = 0
(2 − 2𝜆 + 𝜇)x + (−1 + 𝜆 + 2𝜇)y + (3 + 3𝜆 + 3𝜇)z − 5 − 3𝜆 + 6𝜇 = 0
Karena sejajar dengan V4 : x – y – 2z + 3 = 0 berlaku:
(2 − 2𝜆 + 𝜇) = −(−1 + 𝜆 + 2𝜇) = −(3 + 3𝜆 + 3𝜇)/2
Perhatikan (2 − 2𝜆 + 𝜇) = −(−1 + 𝜆 + 2𝜇)
2 − 2𝜆 + 𝜇 = 1 − 𝜆 − 2𝜇
− 2𝜆 + 𝜆 + 𝜇 + 2𝜇 = 1 − 2
−𝜆 + 3𝜇 = −1 (i)
Perhatikan (2 − 2𝜆 + 𝜇) = −(3 + 3𝜆 + 3𝜇)/2, kalikan masing-masing ruas dengan 2
4 − 4𝜆 + 2𝜇 = −3 − 3𝜆 − 3𝜇
−4𝜆 + 3𝜆 + 2𝜇 + 3𝜇 = −3 − 4
−𝜆 + 5𝜇 = −7 (ii)
Terbentuk SPL berikut:
−𝜆 + 3𝜇 = −1 (i)
−𝜆 + 5𝜇 = −7 (ii)
(ii) − (i) → 2𝜇 = −6 ⇔ 𝜇 = −3, substitusikan ke (i)
−𝜆 + 3.(−3) = −1
𝜆 = −8
Telah diperoleh 𝜆 = −8 dan 𝜇 = −3, masukkan ke kombinasi linear
2x − y + 3z − 5 −8(−2x + y + 3z − 3) − 3(x + 2y + 3z + 6) = 0
2x − y + 3z − 5 + 16x − 8y − 24z + 24 − 3x − 6y − 9z − 18 = 0
15x − 15y − 30z + 1 = 0
Jadi, persamaan bidangnya adalah 15x − 15y − 30z + 1 = 0.
Komentar
Posting Komentar