Koordinat Tabung dan Koordinat Bola

Memberikan koordinat Cartesius (x, y, z) hanyalah salah satu dari berbagai cara untuk menentukan posisi suatu titik dalam ruang tiga dimensi. Dua jenis koordinat lain yang juga berperan penting adalah koordinat tabung (r, θ, z) dan koordinat bola (ρ, θ, φ).

Sistem koordinat tabung menggunakan koordinat polar r dan θ sebagai pengganti koordinat Cartesius x dan y dalam bidang datar. Koordinat z sama seperti dalam koordinat Cartesius. Biasanya kita mensyaratkan bahwa r ≥ 0, dan kita membatasi θ sehingga 0 ≤ θ < 2π.

Suatu titik P memiliki koordinat bola (ρ, θ, φ) jika ρ (rho) adalah jarak |OP| dari titik asal ke titik P, θ adalah sudut polar yang terkait dengan proyeksi P' dari P ke bidang xy, dan φ adalah sudut antara sumbu z positif dan ruas garis OP. Kita mensyaratkan bahwa ρ ≥ 0, 0 ≤ θ < 2π, 0 ≤ φ ≤ π.

1. Koordinat Tabung (Silindrikal)

Pada koordinat tabung, sumbu x dan sumbu y membentuk koordinat polar (sebagaimana pada koordinat dua dimensi), sedangkan sumbu z tetap sama dengan koordinat Cartesius. Misal titik P(r, θ, z) diproyeksikan ke bidang XOY, terproyeksikan pada P'(r, θ, 0). Berikut penjelasannya:

r : Jari-jari penampang tabung, jarak dari O ke P'.

θ : Sudut polar, sudut OP' dengan sumbu x positif, 0 ≤ θ < 2π

Tentunya mudah untuk mengubah dari koordinat Tabung ke Cartesius maupun sebaliknya. Berikut cara mengubah dari koordinat Tabung ke Cartesius:

x = r.cos(θ),    y = r.sin(θ),    z = z

Adapun untuk mengubah dari koordinat Cartesius ke Tabung:

r² = x² + y², akarkan kedua ruas dan diperoleh r.

tan(θ) = y/x, untuk menentukan kuadrannya perhatikan tanda dari x dan y.

θ = arccos(x/r) = arcsin(y/r), iriskan keduanya

z = z

Dalam bentuk tabel:

Tabung ke Cartesius	Cartesius ke Tabung
x = r.cos(θ)	r² = x² + y²
y = r.sin(θ)	tan(θ) = y/x
z = z	z = z

2. Koordinat Bola (Sferikal)

Ketika sebuah benda padat atau permukaan simetris terhadap suatu titik, koordinat bola cenderung menyederhanakan perhitungan. Khususnya, sebuah bola yang berpusat di titik asal memiliki persamaan sederhana ρ = ρ₀. Perhatikan juga bahwa persamaan sebuah kerucut dengan sumbu sepanjang sumbu z dan puncak di titik asal adalah φ = φ₀.

Pada koordinat tabung, sumbu x dan sumbu y membentuk koordinat polar (sebagaimana pada koordinat dua dimensi), sedangkan sumbu z membentuk koordinat polar dengan bidang XOY. Misal titik P(ρ, θ, φ) diproyeksikan ke bidang XOY, terproyeksikan pada P'(ρ.sin(φ), θ, π/2). Berikut penjelasannya:

ρ : Jari-jari bola, jarak dari O ke P

θ : Sudut polar horisontal, sudut antara OP' dengan sumbu x positif, 0 ≤ θ < 2π

φ : Sudut polar vertikal, sudut antara OP dengan sumbu z positif, 0 ≤ φ ≤ π

Tentunya mudah untuk mengubah dari koordinat Bola ke Tabung maupun sebaliknya, berikut cara untuk mengubah dari koordinat Bola ke Tabung:

r = ρ.sin(φ),    θ = θ,    z = ρ.cos(φ)

Adapun untuk mengubah dari koordinat Tabung ke Bola:

ρ = r/sin(φ) = z/cos(φ)

θ = θ

φ = arccos(z/ρ)

Dalam bentuk tabel:

Bola ke Tabung	Tabung ke Bola
r = ρ.sin(φ)	ρ = r/sin(φ) = z/cos(φ)
θ = θ	θ = θ
z = ρ.cos(φ)	φ = arccos(z/ρ)

Setelah mengetahui cara mengubah dari koordinat Bola ke Tabung, dapat digunakan untuk mengubah dari koordinat Bola ke Cartesius, caranya sebagai berikut:

x = r.cos(θ) = ρ.sin(φ).cos(θ)

y = r.sin(θ) = ρ.sin(φ).sin(θ)

z = ρ.cos(φ)

Adapun untuk mengubah dari koordinat Cartesius ke Bola:

ρ² = x² + y² + z², akarkan kedua ruas dan diperoleh ρ

tan(θ) = y/x, untuk menentukan kuadrannya perhatikan tanda dari x dan y.

φ = arccos(z/ρ)

Dalam bentuk tabel:

Bola ke Cartesius	Cartesius ke Bola
x = ρ.sin(φ).cos(θ)	ρ² = x² + y² + z²
y = ρ.sin(φ).sin(θ)	tan(θ) = y/x
z = ρ.cos(φ)	φ = arccos(z/ρ)

contoh: Ubah persamaan ρ = 2.cos(φ) ke bentuk koordinat Cartesius!

ρ = 2.cos(φ), kalikan masing-masing ruas dengan ρ

ρ² = 2ρ.cos(φ)

x² + y² + z² = 2z

x² + y² + z² − 2z = 0, tambahkan masing-masing ruas dengan 1

x² + y² + z² − 2z + 1 = 1

x² + y² + (z − 1)² = 1

Terbentuk persamaan bola berpusat di (0, 0, 1) dengan jari-jari 1.