Lebih Lanjut Rank dan Nulitas

1. Teorema Konsistensi

Jika Ax = b adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel, pernyataan berikut ekivalen:

(a) Ax = b konsisten (memiliki solusi)

(b) b merupakan anggota ruang kolom dari A

(c) Matriks koefisien A dan matriks augmentasi [A | b] memiliki rank yang sama

Telah kita ketahui ekivalensi dari (a) dan (b) pada pembahasan ruang baris dan ruang kolom. Untuk membuktikan teorema ini, cukup buktikan ekivalensi (a) dan (c) atau (b) dan (c).

(i) Jika (b) maka (c)

Dikarenakan b merupakan anggota ruang kolom dari A, matriks koefisien A dan matriks augmentasi [A | b] memiliki ruang kolom yang sama sehingga memiliki rank yang sama.

(ii) Jika (c) maka (b)

Matriks koefisien A dan matriks augmentasi [A | b] memiliki rank yang sama, berarti ruang kolom dari A dan [A | b] berdimensi sama. Andaikan b bukan anggota ruang kolom dari A, berarti b merupakan basis untuk ruang kolom dari [A | b], sehingga kontradiksi dengan kesamaan dimensi. Oleh karena itu, diharuskan b merupakan anggota ruang kolom dari A. ∎

2. Teorema Konsistensi (Lebih Khusus)

Jika Ax = b adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel, pernyataan berikut ekivalen:

(a) Ax = b konsisten untuk setiap matriks b berukuran m × 1

(b) Vektor-vektor kolom dari A merentang R-m

(c) rank(A) = m

Ketahui bahwa sistem Ax = b dapat dinyatakan sebagai:

x₁c₁ + x₂c₂ + … + x_nc_n = b

dimana kita dapat menyimpulkan bahwa Ax = b konsisten untuk setiap matriks b berukuran m × 1 jika dan hanya jika setiap b dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor kolom c₁, c₂, ..., c_n, atau ekuivalennya, jika dan hanya jika vektor-vektor kolom ini merentang R-m. Jadi, (a) ekivalen dengan (b).

Dikarenakan (a) ekivalen dengan (b), untuk menunjukkan bahwa ketiganya ekivalen, cukup tunjukkan bahwa (a) ekivalen dengan (c) atau (b) ekivalen dengan (c).

(i) (a) ⇒ (c) Dari asumsi bahwa Ax = b konsisten untuk setiap matriks b berukuran m × 1, dan dari bagian (a) dan (b) dari Teorema Konsistensi, maka setiap vektor b dalam R-m terletak dalam ruang kolom A; artinya, ruang kolom A adalah seluruh R-m. Dengan demikian rank(A) = dim(R-m) = m.

(ii) (c) ⇒ (a) Dari asumsi bahwa rank(A) = m, maka ruang kolom A adalah subruang dari R-m dengan dimensi m dan oleh karena itu haruslah seluruh R-m. Dari bagian (a) dan (b) dari Teorema Konsistensi  selanjutnya mengikuti bahwa Ax = b konsisten untuk setiap vektor b dalam R-m, karena setiap b tersebut berada dalam ruang kolom A. ∎

3. Banyak Parameter dari SPL yang Konsisten

Misal Ax = b merupakan SPL dengan m persamaan dan n variabel. Misal rank dari A adalah r, solusi umum dari SPL memiliki n − r parameter.

Ingat kembali bahwa c₁, c₂, ..., c_k adalah parameter-parameter bebas dalam solusi umum dari kedua sistem Ax = b dan Ax = 0. Dengan demikian, kedua sistem ini memiliki jumlah parameter bebas yang sama dalam solusi umumnya. Lebih lanjut, diketahui bahwa jumlah parameter bebas tersebut adalah nulitas(A). Ingat juga hubungan bahwa jumlah rank dan nulitas sama dengan banyak kolom.

4. Kebebasan Linear Vektor Kolom

Jika Ax = b adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel, pernyataan berikut ekivalen:

(a) Ax = 0 hanya memiliki solusi trivial

(b) Vektor-vektor kolom dari A bebas linear

(c) Ax = b memiliki paling banyak satu solusi (tidak memiliki solusi atau memiliki tepat satu solusi) untuk sebarang matriks b berukuran m × 1

Jelas bahwa (a) ekivalen dengan (b) karena definisi kebebasan linear. Dikarenakan (a) ekivalen dengan (b), untuk menunjukkan bahwa ketiganya ekivalen, cukup tunjukkan bahwa (a) ekivalen dengan (c) atau (b) ekivalen dengan (c).

(i) (a) ⇒ (c) Asumsikan bahwa Ax = 0 hanya memiliki solusi trivial. Sistem Ax = b bisa konsisten atau tidak. Jika tidak konsisten, maka tidak ada solusi untuk Ax = b, dan selesai. Jika Ax = b konsisten, misalkan x₀ adalah salah satu solusinya. Dari fakta bahwa Ax = 0 hanya memiliki solusi trivial, kita simpulkan bahwa solusi umum dari Ax = b adalah x₀ + 0 = x₀. Dengan demikian, satu-satunya solusi dari Ax = b adalah x₀.

(ii) (c) ⇒ (a) Asumsikan bahwa Ax = b memiliki paling banyak satu solusi untuk setiap matriks b berukuran m × 1. Maka, khususnya, Ax = b memiliki paling banyak satu solusi. Dengan demikian, Ax = 0 hanya memiliki solusi trivial. ∎

5. SPL yang Overdeterminated dan SPL yang Underdeterminated

A. SPL yang Overdeterminated

Suatu SPL dengan lebih banyak persamaan daripada variabel disebut SPL yang "overdetermined". Jika Ax = b adalah sistem persamaan linear yang overdetermined, artinya terdapat lebih banyak persamaan (m) daripada variabel (n), maka vektor-vektor kolom dari matriks A tidak dapat merentang seluruh ruang R-m. Dari teorema sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa untuk suatu matriks A dengan ukuran m × n yang tetap dengan m > n, sistem persamaan linear yang overdetermined Ax = b tidak mungkin konsisten untuk setiap vektor b.

B. SPL yang Underdeterminated

Suatu SPL dengan lebih banyak variabel daripada persamaan disebut SPL yang "underdetermined". Jika Ax = b adalah sistem persamaan linear yang underdetermined yang konsisten, artinya terdapat lebih banyak variabel (n) daripada persamaan (m), solusi umumnya memiliki setidaknya satu parameter. Oleh karena itu, suatu SPL yang underdetermined dan konsisten pasti memiliki tak hingga banyak solusi. Khususnya, suatu SPL homogen yang underdetermined memiliki tak hingga banyak solusi.