Persamaan Bidang Datar

Misal E sebarang titik pada bidang v, D adalah proyeksi O pada bidang v sehingga OD ⊥ v. Misal koordinat dari E(x, y, z). Misalkan OQ memiliki sudut arah 𝛼, 𝛽, 𝛾, dan panjang OD = p maka persamaan bidang v sudah tertentu (sudut arah dan jarak ke O).

Jumlah panjang Proyeksi OA, OB dan OC pada OD adalah:

x.cos(𝛼) + y.cos(𝛽) + z.cos(𝛾)

Panjang Proyeksi ini sama dengan panjang proyeksi OE pada OD

Persamaannya adalah x.cos(𝛼) + y.cos(𝛽) + z.cos(𝛾) = p

Karena E sebarang titik pada v, berarti setiap titik di v, berarti persamaan bidang v dalam bentuk normal adalah: 

x.cos(𝛼) + y.cos(𝛽) + z.cos(𝛾) = p

Untuk bidang yang melalui O(0, 0, 0) berlaku: 

x.cos(𝛼) + y.cos(𝛽) + z.cos(𝛾) = 0

1. Persamaan Bidang Datar dalam Bentuk Normal

• Misalkan persamaan bidang Ax + By + Cz + D = 0

• Misalkan juga persamaan bidang dalam bentuk normal x.cos(𝛼) + y.cos(𝛽) + z.cos(𝛾) = p

Berarti berlaku perbandingan:

• Misalkan perbandingan ini sebagai 𝜆, tentunya berlaku:

cos(𝛼) = 𝜆A, cos(𝛽) = 𝜆B, cos(𝛾) = 𝜆C, p = −𝜆D

• Dikarenakan cos²(𝛼) + cos²(𝛽) + cos²(𝛾) = 1

𝜆²(A² + B² + C²) = 1

• Dengan demikian diperoleh:

Catatan: Untuk memilih tandanya, pilih terlebih dahulu nilai p. Ingat! nilai p harus positif sehingga dipilih tanda yang membuat nilai p menjadi positif, sedangkan yang lain mengikuti.

• Persamaan bidang Ax + By + Cz + D = 0 berarti A, B, C merupakan bilangan arah.

Persamaan bidang x.cos(𝛼) + y.cos(𝛽) + z.cos(𝛾) = p berarti 𝛼, 𝛽, 𝛾 merupakan sudut arah.

2. Persamaan Bidang Diketahui Titik Potong Sumbu

Misal persamaan bidang datar Ax + By + Cz + D = 0.

Titik potong sumbu x adalah P(−D/A, 0, 0), dengan A ≠ 0

Titik potong sumbu y adalah Q(0, −D/B, 0), dengan B ≠ 0

Titik potong sumbu z adalah R(0, 0, −D/C), dengan C ≠ 0

Lalu bagaimana sebaliknya? Misal diketahui suatu bidang memotong sumbu X di (a, 0, 0), memotong sumbu Y di (0, b, 0) dan sumbu Z di (0, 0, c), dengan a, b, c ketiganya taknol, persamaan bidangnya adalah:

adapun untuk a = 0 ∨ b = 0 ∨ c = 0, persamaan bidangnya adalah:

bcx + acy + abz = abc

3. Persamaan Bidang Melalui Sebuah Titik Tertentu

Misal titik P(x₁, y₁, z₁) terletak pada bidang Ax + By + Cz + D = 0, berarti dipenuhi:

Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D = 0 ↔ D = −(Ax₁ + By₁ + Cz₁)

Substitusikan ke persamaan bidang datar menjadi:

Ax + By + Cz − (Ax₁ + By₁ + Cz₁) = 0

Jadi, persamaan bidang yang melalui titik P(x₁, y₁, z₁) adalah:

A(x − x₁) + B(y − y₁) + C(z − z₁) = 0

4. Persamaan Bidang Datar Melalui Tiga Titik

Misal diberikan tiga titik P₁(x₁, y₁, z₁), P₂(x₂, y₂, z₂), dan P₃(x₃, y₃, z₃). Dikarenakan titik terletak pada bidang Ax + By + Cz + D = 0 tentunya memenuhi:

x₁A + y₁B + z₁C + D = 0 (i)

x₂A + y₂B + z₂C + D = 0 (ii)

x₃A + y₃B + z₃C + D = 0 (iii)

Sebagaimana kita ketahui bahwa A, B, C merupakan koefisien, sedangkan d merupakan konstanta, kita dapat memindahkan konstanta ke ruas kanan sehingga terbentuklah SPL sebagai berikut:

x₁A + y₁B + z₁C = −D (i)

x₂A + y₂B + z₂C = −D (ii)

x₃A + y₃B + z₃C = −D (iii)

Untuk menentukan persamaan bidang melalui tiga titik bisa dengan menyelesaikan SPL tersebut. SPL yang dibentuk oleh tiga titik yang terletak pada bidang selalu memiliki solusi karena apabila terdapat baris nol, secara otomatis nilai D sama dengan nol.

Selain menggunakan SPL, persamaan bidang melalui tiga titik juga bisa diselesaikan menggunakan vektor.

• Pilih salahsatu titik sebagai titik pangkal, misal P₁(x₁, y₁, z₁)

• Buat dua vektor yang berpangkal di P₁(x₁, y₁, z₁) dan ujungnya masing-masing di P₂(x₂, y₂, z₂) dan P₃(x₃, y₃, z₃)

• Kalikan silang kedua vektor, diperoleh vektor normal (vektor yang tegak lurus dengan bidang)

Misal P(x, y, z) sebarang titik pada bidang, berlaku:

Pada akhirnya, persamaan bidang melalui tiga titik dapat ditentukan menggunakan determinan matriks 3 × 3 berikut:

Kembali ke vektor normal, kita memperoleh rumus untuk menentukan koefisien A, B, C, D:

Contoh Soal

Misal diberikan tiga titik P(1, 0, 2), Q(−1, 0, 1) dan R(−1, 1, 3), tentukan persamaan bidang yang memuat ketiganya!

Cara I: Sistem Persamaan Linear

Karena P, Q, R terletak pada bidang, berlaku:

A + 0B + 2C = −D (i)

−A + 0B + C = −D (ii)

−A + B + 3C = −D (iii)

Dalam bentuk matriks:

1	0	2	–D
–1	0	1	–D
–1	1	3	–D

R₂ = R₂ + R₁, R₃ = R₃ + R₁ menjadi:

1	0	2	–D
0	0	3	–2D
0	1	5	–2D

Tukarkan R₂ dengan R₃ menjadi:

1	0	2	–D
0	1	5	–2D
0	0	3	–2D

R₁ = 3R₁ − 2R₃, R₂ = 3R₂ − 5R₃ menjadi:

3	0	0	D
0	3	0	4D
0	0	3	–2D

Persamaan bidangnya adalah x + 4y – 2z + 3 = 0

Cara II: Menggunakan vektor

Pilih satu titik sebagai titik pangkal misal P, buat vektor berpangkal di P dan berakhir di titik lain

PQ = (−1 − 1, 0 − 0, 1 − 2) = (−2, 0, −1)

PR = (−1 − 1, 1 − 0, 3 − 2) = (−2, 1, 1)

Kalikan keduanya secara silang:

Hasil kali silang dari kedua vektor membentuk vektor dengan komponennya bilangan arah. Karena vektor baru ini melalui titik P yang terletak di bidang, berlaku:

A(x − x₁) + B(y − y₁) + C(z − z₁) = 0

1(x − 1) + 4(y − 0) – 2(z − 2) = 0

x − 1 + 4y – 2z + 4 = 0

x + 4y – 2z + 3 = 0