Persamaan Garis Lurus di Koordinat Ruang

1. Persamaan Garis Lurus melalui Titik dengan Bilangan Arah

Misal diberikan suatu garis melalui titik (x₁, y₁, z₁) dengan bilangan arah a, b, c. Persamaannya adalah:

Umumnya persamaan garis lurus terdiri dari tiga ruas, dengan semua bilangan arahnya taknol.

contoh:

Suatu garis melalui titik (1, 3, −2) dengan bilangan arah 2, 1, 4 adalah:

2. Persamaan Garis Potong Dua Bidang

Misal suatu garis merupakan perpotongan dari dua bidang V: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 dan W: A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0. Kita dapat menuliskan persamaan garis dengan mengkonjungsikan kedua persamaan bidang. Kita juga dapat mengubahnya ke bentuk persamaan garis lurus melalui sebuah titik dan bilangan arah.

Untuk menentukan titik yang dilaluinya, selesaikan sistem persamaan linear tiga variabel. Selagi kedua bidang tidak sejajar, pasti memiliki garis potong. Dikarenakan banyak persamaan kurang dari banyak variabel (2 < 3), SPL akan memiliki tak hingga solusi dan solusinya dinyatakan dalam bentuk parameter. Pilih satu nilai untuk parameter, akan didapati sebuah titik yang dilalui oleh garis.

Adapun bilangan arahnya adalah koefisien yang menempel pada parameter. Kita juga dapat mengalikan bilangan-bilangan arahnya dengan konstanta taknol untuk membulatkannya.

contoh:

Diberikan dua bidang V: 2x − 3y + z + 2 = 0 dan W: x + 3y − 2z − 3 = 0, tentukan persamaan garis potong keduanya!

Keduanya membentuk SPL berikut:

V: 2x − 3y + z = −2 (i)

W: x + 3y − 2z = 3 (ii)

SPL ini memiliki tak hingga solusi, sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk parameter:

x = t, y = (5t + 1)/3, z = 3t − 1

Misal dipilih t = 1:

x = 1, y = 2, z = 2. Berarti garis melalui titik (1, 2, 2)

Bilangan arahnya adalah 1, 5/3, dan 3. Kita dapat mengalikan masing-masing dengan 3 agar menjadi bulat, sehingga menjadi 3, 5, dan 9. Sehingga persamaannya menjadi:

3. Menentukan Bilangan Arah untuk Garis Perpotongan Dua Bidang

Misal suatu garis merupakan perpotongan dari dua bidang V: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 dan W: A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0. Susun menjadi SPL berikut:

V: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 (i)

W: A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0 (ii)

Kita dapat mengeliminasi z dengan:

C₂V − C₁W = 0

(C₂A₁ − C₁A₂)x + (C₂B₁ − C₁B₂)y + C₂D₁ − C₁D₂ = 0

x = [(C₂B₁ − C₁B₂)y + C₂D₁ − C₁D₂]/(C₁A₂ − C₂A₁) (iii)

Kita dapat mengeliminasi y dengan:

B₂V − B₁W = 0

(B₂A₁ − B₁A₂)x + (B₂C₁ − B₁C₂)z + B₂D₁ − B₁D₂ = 0

x = [(B₂C₁ − B₁C₂)z + B₂D₁ − B₁D₂]/(B₁A₂ − B₂A₁) (iv)

Satukan (iii) dan (iv) menjadi:

Bilangan arah dari bentuk ini adalah:

Kita bisa menghilangkan bentuk pecahan dengan mengalikan masing-masing komponen:

Jadi, bilangan arah dapat dinyatakan dalam bentuk determinan matriks.

4. Persamaan Garis Lurus dalam Bentuk Parameter

Pada umumnya, persamaan garis dinyatakan dalam bentuk:

Kita dapat menambahkan ruas baru sebagai perbandingan menjadi:

Kita dapat menyelesaikan masing-masing ruas dengan ruas paling kanan menjadi:
x = x₁ + 𝜆a, y = y₁ + 𝜆b, z = z₁ + 𝜆c, dengan 𝜆 parameter. Kita dapat menuliskannya sebagai:

g: (x, y, z) = (x₁, y₁, z₁) + 𝜆(a, b, c)

Bentuk terakhir ini disebut sebagai persamaan garis dalam bentuk parameter.

Misal suatu garis melalui titik (1, 3, −2) dengan bilangan arah 2, 1, 4. Persamaan garis dalam bentuk parameter adalah g: (x, y, z) = (1, 3, −2) + 𝜆(2, 1, 4)

5. Persamaan Garis Melalui Dua Titik

Misal diberikan dua titik P(x₁, y₁, z₁) dan Q(x₂, y₂, z₂), apabila dibuat vektor PQ maupun QP, vektor tersebut dapat dipastikan terletak pada garis yang melalui P dan Q. Oleh karena itu, bilangan arah dari garis sama dengan komponen-komponen vektor. Kita boleh menyatakan bilangan arahnya sebagai:

PQ = (x₂ − x₁, y₂ − y₁, z₂ − z₁), boleh juga dinyatakan sebagai:

QP = (x₁ − x₂, y₁ − y₂, z₁ − z₂).

Oleh karena itu, kita boleh menyatakan persamaan garis dalam bentuk parameter:

g: P + 𝜆(QP) atau g: P + 𝜆(PQ), boleh juga g: Q + 𝜆(QP) atau g: Q + 𝜆(PQ).

g: (x, y, z) = (x₁, y₁, z₁) + 𝜆(x₂ − x₁, y₂ − y₁, z₂ − z₁)

Misal diberikan dua titik P(1, 0, 3) dan Q(2, 6, 5), persamaan garis melalui P dan Q adalah:

g: (x, y, z) = (1, 0, 3) + 𝜆(2 − 1, 6 − 0, 5 − 3)

g: (x, y, z) = (1, 0, 3) + 𝜆(1, 6, 2)