Rank dan Nulitas

1. Empat Ruang Matriks Fundamental

Misal kita mempertimbangkan sebuah matriks A dan transposenya A^T bersama-sama, maka ada enam ruang vektor yang menarik:

Ruang baris dari A,      Ruang baris dari A^T, 

Ruang kolom dari A,    Ruang kolom dari A^T, 

Ruang nol dari A,         Ruang nol dari A^T, 

Namun, mentranspose sebuah matriks mengubah vektor baris menjadi vektor kolom dan vektor kolom menjadi vektor baris, sehingga kecuali untuk perbedaan notasi, ruang baris dari A^T sama dengan ruang kolom dari A, dan ruang kolom dari A^T sama dengan ruang baris dari A. Hal ini menyisakan empat ruang vektor yang menarik:

• Ruang baris dari A: Memberikan informasi tentang semua kombinasi linear yang mungkin dari baris-baris matriks.

• Ruang kolom dari A: Memberikan informasi tentang semua hasil yang mungkin ketika matriks dikalikan dengan vektor.

• Ruang nol dari A: Memberikan informasi tentang semua vektor yang "dihapus" oleh matriks (diubah menjadi vektor nol).

• Ruang nol dari A^T : Memberikan informasi tentang semua vektor yang ortogonal terhadap ruang baris. 

Ruang-ruang ini dikenal sebagai ruang matriks fundamental yang terkait dengan A. Jika A adalah matriks m × n, maka ruang baris dari A dan ruang nol dari A adalah subruang dari R-n, dan ruang kolom dari A dan ruang nol dari A^T adalah subruang dari R-m. Tujuan utama kita dalam artikel ini adalah untuk membangun hubungan antara dimensi dari keempat ruang vektor ini.

2. Kesamaan Dimensi Ruang Baris dan Ruang Kolom

"Misal A sebarang matriks, ruang baris dan ruang kolom dari A berdimensi sama."

Misalkan R adalah bentuk eselon baris dari A, berarti R merupakan hasil OBE dari A, kita dapatkan:

dim(ruang baris dari A) = dim(ruang baris dari R)

dan meskipun OBE mengubah ruang kolom, tetapi tidak mengubah dimensinya, sehingga:

dim(ruang kolom dari A) = dim(ruang kolom dari R)

Dimensi dari ruang baris dari R adalah jumlah baris taknol, dan dimensi dari ruang kolom dari R adalah jumlah kolom yang mengandung 1 utama. Namun, baris taknol justru adalah baris-baris di mana 1 utama muncul, sehingga jumlah 1 utama dan jumlah baris taknol adalah sama. Hal ini menunjukkan bahwa ruang baris dan ruang kolom dari R memiliki dimensi yang sama.

3. Rank dan Nulitas

Telah kita ketahui bahwa ruang baris dan ruang kolom dari matriks A berdimensi sama, dimensi ini disebut sebagai rank dari A, ditulis rank(A). Sedangkan dimensi ruang nol dari A disebut sebagai nulitas dari A, ditulis nulitas(A).

contoh: Diberikan matriks A sebagai berikut:

Tentukan rank dan nulitas dari A!
(i) Rank

Misal dilakukan OBE, akan tersisa dua baris taknol, yaitu:

Terlihat bahwa dimensi ruang baris dari A adalah 2. Jadi, rank dari A adalah 2.

(ii) Nulitas

Misal dibentuk SPL homogen:

Solusi dari SPL homogen ini adalah:

Terlihat bahwa dimensi ruang nol dari A adalah 2. Jadi, nulitas dari A adalah 2.

4. Kesamaan Rank Matriks dan Transposenya

"Untuk sebarang matriks A, rank(A) = rank(A^T)".

Sebagaimana kita ketahui bahwa ruang kolom dari A sama dengan ruang baris dari A^T, dan ruang baris dari A sama dengan ruang kolom dari A^T, kita mendapati bahwa rank(A) sama dengan rank(A^T).

5. Hubungan Rank dan Nulitas

"Misal A matriks dengan n kolom, berlaku persamaan rank(A) + nulitas(A) = n. Dengan kata lain, jumlah rank dan nulitas dari matriks sama dengan banyak kolom."

Misal matriks A memiliki n kolom, SPL homogen Ax = 0 memiliki n variabel. Variabel-variabel ini dapat dibagi menjadi dua kategori: variabel terikat dan variabel bebas (parameter). Sehingga:

banyak variabel terikat + banyak variabel bebas = n

Namun, banyak variabel terikat sama dengan banyak 1 utama (angka 1 yang paling kiri pada setiap baris taknol) dalam bentuk eselon baris dari matriks A, dan ini adalah rank dari A. Jadi:

rank(A) + banyak variabel bebas = n

Banyak variabel bebas (parameter) sama dengan nulitas dari A. Hal ini karena nulitas dari A adalah dimensi dari ruang solusi dari Ax = 0, yang sama dengan banyak parameter dalam solusi umum, yang sama dengan banyak variabel bebas. Sehingga:

rank(A) + nulitas(A) = n.

Dari uraian ini, kita mendapati dua poin, yaitu:

(a) Rank dari A sama dengan banyak variabel utama dalam solusi dari Ax = 0.

(b) Nulitas dari A sama dengan banyak variabel bebas dalam solusi umum dari Ax = 0.

Misal matriks A berukuran m × n, dan rank dari A adalah r. Tentunya matriks A^T berukuran n × m, dan rank dari A^T juga r. Dengan menggunakan hubungan rank dan nulitas, kita dapat menentukan nulitas dari A dan A^T sebagai:

nulitas(A) = n − r,    nulitas(A^T) = m − r

Kita dapat merangkum dimensi dari keempat ruang matriks fundamental ke tabel berikut:

Ruang Fundamental	Dimensi
Ruang baris dari A	r
Ruang kolom dari A	r
Ruang nol dari A	n – r
Ruang nol dari AT	m – r

6. Penggunaan Rank dalam Internet

Munculnya internet telah memicu penelitian untuk menemukan metode efisien dalam mengirimkan sejumlah besar data digital melalui jalur komunikasi dengan bandwidth terbatas. Data digital umumnya disimpan dalam bentuk matriks, dan banyak teknik untuk meningkatkan kecepatan transmisi memanfaatkan rank dari suatu matriks. Rank berperan karena mengukur redundansi dalam sebuah matriks, dalam arti jika A adalah sebuah matriks m × n dengan rank k, maka n − k dari vektor kolom dan m − k dari vektor baris dapat dinyatakan dalam bentuk k vektor kolom atau baris yang saling bebas secara linear. Ide dasar dalam banyak skema kompresi data adalah untuk mengaproksimasi kumpulan data asli dengan kumpulan data yang memiliki rank lebih kecil namun tetap menyampaikan informasi yang hampir sama, kemudian menghilangkan vektor-vektor yang redundan dalam himpunan aproksimasi untuk mempercepat waktu transmisi.

• Data digital seringkali direpresentasikan sebagai matriks.

• Rank dari suatu matriks menunjukkan jumlah informasi unik yang terkandung di dalamnya.

• Vektor-vektor yang tidak memberikan informasi baru (redundant) dapat dihilangkan untuk mengurangi ukuran data.

• Dengan mengurangi ukuran data, waktu transmisi dapat dipercepat tanpa kehilangan banyak informasi.

Konsep kunci:

• Rank: Ukuran kebebasan linear dalam suatu matriks.

• Redundansi: Informasi yang berulang atau tidak memberikan nilai tambah.

• Kompresi data: Proses mengurangi ukuran data tanpa kehilangan informasi yang signifikan.

Dalam gambar digital, setiap piksel dapat dianggap sebagai elemen dalam sebuah matriks. Dengan menggunakan teknik kompresi berbasis rank, kita dapat mengurangi ukuran file gambar tanpa terlalu mengurangi kualitas visualnya. Hal ini memungkinkan kita untuk menyimpan atau mengirimkan gambar dengan lebih efisien.

7. Nilai Maksimum untuk Rank

Misal matriks A berukuran m × n, vektor-vektor baris dari A merupakan anggota R-n, dan vektor-vektor kolom dari A merupakan anggota R-m. Hal ini membatasi ruang baris dari A paling besar berdimensi-n dan ruang kolom dari A paling besar berdimensi-m. Dan dikarenakan ruang baris dan ruang kolom dari A berdimensi sama (yang mana disebut sebagai Rank), hal ini mengharuskan rank dari A tidak lebih dari banyak baris maupun banyak kolom dari A. Kita dapat menuliskan:

max[rank(A)] = min(m, n)

boleh juga ditulis:

rank(A) ≤ min(m, n)

dengan min(m, n) adalah nilai terkecil dari m dan n.