Rumus Translasi (Geseran)

1. Rumus Geseran

Misal titik B(a, b) dan P(x, y). Tentu saja vektor OB = (a, b), sehingga pergeseran titik P menurut vektor OB adalah:

S_OB(P) = P'(x', y') = P'(x + a, y + b); dengan vektor (a, b) merupakan vektor geseran.

Boleh juga dinyatakan dalam bentuk matriks:

2. Penjelasan Aturan-Aturan Geseran

A. Vektor-vektor yang ekivalen

S_AB = S_CD jika dan hanya jika AB = CD.

Misalkan AB = CD = (u, v), misal P(x, y), tentu saja pergeseran titik P menurut vektor AB dan CD adalah sama:

S_AB(P) = S_CD(P) = P'(x + u, y + v)

B. Kejajargenjangan

Misalkan titik-titik A, B, C tidak segaris. S_AB = S_CD jika dan hanya jika CABD berupa jajargenjang.

Misal A(x_A, y_A), B(x_B, y_B), C(x_C, y_C), D(x_D, y_D), dan tidak ada tiga titik yang segaris, sehingga keempat titik membentuk segiempat.

AB = (x_B − x_A, y_B − y_A); CD = (x_D − x_C, y_D − y_C)

S_AB = S_CD berarti AB = CD, sehingga (x_B − x_A, y_B − y_A) = (x_D − x_C, y_D − y_C)

x_B − x_A = x_D − x_C; dan y_B − y_A = y_D − y_C;

x_B − x_D = x_A − x_C; dan y_B − y_D = y_A − y_C;

(x_B − x_D, y_B − y_D) = (x_A − x_C, y_A − y_C)

BD = AC.

Dikarenakan AB = CD dan BD = AC, kita mendapati bahwa |AB| = |CD| dan |BD| = |AC|, yang artinya sisi-sisi yang berhadapan sama panjang. Oleh karena itu, CABD merupakan jajargenjang.

C. Keberadaan unsur tetap

Geseran S_AB akan menjadi identitas jika dan hanya jika A = B. Jadi S_AB ≠ I untuk setiap titik dalam bidang yang dipindahkan. Dengan demikian tidak ada titik tetap, dan ada garis tetap yaitu semua garis yang sejajar dengan AB.

Untuk kasus A = B, jelas bahwa AB = (0, 0), sehingga misal P(x, y); S_AB(P) = (x, y) + (0, 0) = (x, y) sehingga S_AB merupakan identitas.

Adapun untuk A ≠ B, jelas bahwa AB ≠ (0, 0), sehingga dapat dipastikan S_AB bukan identitas untuk titik apapun.

Misal vektor AB = (u, v), titik P(x, y). Garis g sejajar dengan vektor AB sehingga bergradien sama, yaitu v/u. Misal garis g dinyatakan dalam bentuk y = mx + c, akan diperoleh:

g: y = (v/u)x + c, kalikan masing-masing ruas dengan u

g: uy = vx + cu, misalkan cu = n

g: vx − uy + n = 0

S_AB(P) = P'(x', y') = P'(x + u, y + v), sehingga (x, y) = (x' − u, y' − v)

Translasikan g menurut vektor AB, akan diperoleh:

g: vx − uy + n = 0

g: v(x' − u) − u(y' − v) + n = 0

g: vx' − uv − uy' + uv + n = 0

g: vx' − uy' + n = 0

g': vx − uy + n = 0 ≡ g

Jadi, garis yang sejajar dengan vektor geseran merupakan unsur tetap.

D. Isometri

Suatu geseran adalah isometri.

Misal P(a, b), Q(c, d), dan suatu vektor u = (e, f).

PQ = (c − a, d − b)

Jarak dari P ke Q sama dengan norm vektor PQ. Ditulis |PQ| = ‖PQ‖ = ‖c − a, d − b‖

Misal P digeser menurut vektor u, P' = (a + e, b + f)

Misal Q digeser menurut vektor u, Q' = (c + e, d + f)

P'Q' = (c − a, d − b) = PQ. Sehingga ‖P'Q'‖ = ‖PQ‖, oleh karena itu |P'Q'| = |PQ|.

Jadi, translasi (geseran) merupakan isometri.

E. Ketetapan Arah Garis

Geseran mempertahankan arah garis.

Misal suatu garis g: y = mx + c, dan titik P(x, y) terletak pada garis g. Gradien garis g adalah m.

Misal diberikan vektor u = (e, f). Garis g digeser menurut vektor u.

S_u(P) = P'(x', y') = (x + e, y + f), sehingga (x, y) = (x' − e, y' − f).

g: y = mx + c

g: y' − f = m(x' − e) + c

g: y' = mx' − me + c + f

g': y = mx − me + c + f

Gradien garis g' adalah m, yang mana sama dengan gradien garis g, sehingga g' sejajar dengan g. Dengan kata lain, geseran mempertahankan arah garis.

F. Komposisi Geseran

Hasil komposisi dua geseran S_AB dan S_CD akan berupa geseran S_PQ dengan PQ = AB + CD.

Misal AB = (a, b) dan CD = (c, d), dan titik E(e, f)

S_CD(E) = E'(e + c, f + d)

(S_AB ∘ S_CD)(E) = S_AB(S_CD(E)) = S_AB(E') = E''(e + c + a, f + d + b)

Misal PQ = EE'' = (a + c, b + d) = (a, b) + (c, d) = AB + CD.

Jadi, hasil komposisi dua geseran dengan penjumlahan vektor.

3. Grup Abel dari Geseran

Himpunan geseran menyusun grup abel.

Grup Abel adalah grup dengan operasi yang bersifat komutatif. Sebagaimana yang telah kita ketahui bahwa transformasi menyusun grup, untuk menunjukkan bahwa himpunan geseran menyusun grup Abel, cukup tunjukkan bahwa komposisi geseran bersifat komutatif.

Telah kita ketahui bahwa hasil komposisi geseran dengan penjumlahan vektor, dan dikarenakan penjumlahan vektor bersifat komutatif, tentu komposisi geseran bersifat komutatif. Oleh karena itu, himpunan geseran menyusun grup Abel.

Contoh Soal

Misalkan A(2, 1) dan B(5, –2), C(2, 7), N(2, 6) dan g: 2x – y + 3 = 0.

a) Jika S_ABS_CD(N) = N'(4, –5) maka tentukan titik D!

AB = (5 – 2, –2 – 1) = (3, –3)

Misal D(x, y), CD = (x – 2, y – 7)

S_ABS_CD(N) = S_AB(2 + x – 2, 6 + y – 7) = S_AB(x, y – 1) = N'(x + 3, y – 1 – 3) = N'(x + 3, y – 4)

N'(x + 3, y – 4) = N'(4, –5), diperoleh:

x + 3 = 4, sehingga x = 1

y – 4 = –5, sehingga y = –1

Jadi, koordinat titik D(1, –1)

b) Jika S_AB(k) = g maka tentukan k!

S_AB(k) = g berarti S_BA(g) = k

BA = –AB = –(3, –3) = (–3, 3)

g: 2x – y + 3 = 0

S_BA(x, y) = (x', y') = (x – 3, y + 3)

(x, y) = (x' + 3, y' – 3)

g: 2x – y + 3 = 0

g: 2(x' + 3) – (y' – 3) + 3 = 0

g: 2x' + 6 – y' + 3 + 3 = 0

g: 2x' – y' + 12 = 0

k: 2x – y + 12 = 0