Sudut Antara Dua Bidang (GAR)

Untuk menentukan sudut antara dua bidang, tentukan garis tumpuan (garis perpotongan dua bidang). Pilih satu titik yang terletak pada garis tumpuan, buat garis sejajar dengan garis tumpuan di masing-masing bidang.
Misal diberikan dua bidang V dan W, keduanya berpotongan di garis (V, W). Pilih satu titik yang terletak di (V, W), misal O. Buat garis melalui O tegak lurus (V, W) dan terletak di V, sebut saja garis g, buat juga garis melalui O tegak lurus (V, W) dan terletak di W, sebut saja garis l. Sudut antara bidang V dan W sama dengan sudut antara garis g dan l.
Misal dipilih satu titik terletak di g, misalnya A. Proyeksikan A ke l, terproyeksikan ke A'. Misal dibuat garis normal (garis tegak lurus bidang) melalui A, tegak lurus dengan V. Sudut antara AA' dengan garis normal tersebut sama dengan sudut antara kedua bidang.
Misal V: x.cos(饾浖1) + y.cos(饾浗1) + z.cos(饾浘1) − d1 = 0
W: x.cos(饾浖2) + y.cos(饾浗2) + z.cos(饾浘2) − d2 = 0
sehingga sudut antara v dan w dapat ditentukan menggunakan kosinus:
cos(饾渻) = cos(饾浖1).cos(饾浖2) + cos(饾浗1).cos(饾浗2) + cos(饾浘1).cos(饾浘2)
Misal persamaan bidangnya V: A1x + B1y + C1z + D1 = 0
W: A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Sehingga
❑ Kasus khusus untuk dua bidang sejajar, berlaku perbandingan:
untuk kasus dimana perbandingan D juga sebanding, bidang tersebut berhimpit
❑ Untuk kasus dimana pembilangnya nol, sedangkan penyebut tidak nol, berarti kosinusnya nol, sehingga tegak lurus.

Contoh Soal
Tentukan persamaan bidang datar yang melalui (2, 1, 1) dan (3, 2, 2) serta tegak lurus dengan bidang datar x + 2y – 5z – 3 = 0.
Misal persamaan bidang W: Ax + By + Cz + D = 0
W melalui (2, 1, 1), sehingga berlaku 2A + B + C + D = 0 (i)
W melalui (3, 2, 2), sehingga berlaku 3A + 2B + 2C + D = 0 (ii)
(i) – (ii) → A + B + C = 0 (iii)
W tegak lurus dengan x + 2y – 5z – 3 = 0, sehingga berlaku A + 2B – 5C = 0 (iv)
(iv) – (iii) → B – 6C = 0 ⇔ B = 6C, masukkan ke (iii)
A + 6C + C = 0 ⇔ A = –7C, masukkan ke (i)
2.(–7C) + 6C + C + D = 0 ⇔ –7C + D = 0 ⇔ D = 7C
Misal dipilih C = 1, persamaan bidangnya adalah W: –7x + 6y + z + 7 = 0

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Uji Linearitas dan Keberartian Regresi

Gambar
1. Uji Linearitas Regresi ➢ Analisis regresi mengharuskan adanya hubungan fungsional antara X dan Y yang linear → perubahan nilai di salah satu variabel independen akan menghasilkan perubahan yang konstan pada variabel dependen. ➢ Tujuan linearitas pada regresi adalah meyakinkan hubungan linear pada X dan Y dan juga dampak dari model tersebut. Selain itu, residu tersisa sudah tidak memiliki pola tertentu sehingga memastikan bahwa model yang dikeluarkan benar tepat.  ➢ Tidak dipenuhinya asumsi linearitas menjadikan estimasi parameter regresi menjadi bias (koefisien regresi, kesalahan baku, dan pengujian signifikansi) yang berakibat model regresi menjadi tidak tepat jika digunakan untuk prediksi. ➢ Hasil analisis regresi yang underfitting atau overfitting serta resiko kesalahan tipe I atau tipe II menjadi sangat besar. Berikut langkah-langkah uji linearitas: 1. Urutkan dan Kelompokkan Data Data diurutkan berdasarkan nilai X dari terkecil hingga terbesar. Data dengan nilai X yang sama...
Read more »

Limit dan Kekontinuan Fungsi Dua Variabel

Gambar
Mungkin tampak aneh bahwa kita membahas turunan parsial sebelum limit untuk fungsi dua variabel atau lebih. Namun, diferensiasi parsial sebenarnya merupakan ide yang lebih sederhana karena semua variabel kecuali satu variabel dijaga tetap. Satu-satunya konsep yang diperlukan untuk mendefinisikan turunan parsial adalah limit dari suatu fungsi satu variabel. Di sisi lain, limit dari suatu fungsi dua (atau lebih) variabel adalah konsep yang lebih dalam karena kita harus memperhitungkan semua cara di mana (x, y) mendekati (a, b). Ini tidak dapat disederhanakan menjadi memperlakukan "satu variabel pada satu waktu" seperti diferensiasi parsial. Limit dari suatu fungsi dua variabel memiliki arti intuitif yang biasa: Nilai-nilai f(x, y) semakin mendekati angka L ketika (x, y) mendekati (a, b). Masalahnya adalah bahwa (x, y) dapat mendekati (a, b) dengan cara yang tak terhingga banyaknya. Kita menginginkan definisi yang memberikan L yang sama tidak peduli jalur apa yang diambil (x, y)...
Read more »

Sistem Persamaan Diferensial Linier Homogen Berkoefisien Konstan

Gambar
1. Pengenalan Di halaman ini kita akan membahas sistem linear homogen dx/dt = a₁x + b₁y dy/dt = a₂x + b₂y dimana koefisien a₁, b₁, a₂, dan b₂ adalah konstanta real. Kita mencari solusi dari sistem ini; tapi bagaimana kita harus melanjutkannya? Ingatlah kembali bahwa kita mencari dan menemukan solusi eksponensial dari sistem linear tunggal berderajat n dengan koefisien konstan. Mengingat analogi yang ada antara sistem linear dan persamaan diferensial tingkat-tinggi tunggal, kita sekarang mungkin bisa mencoba menemukan solusi eksponensial dari sistem tersebut. Oleh karena itu mari kita coba tentukan solusi dalam bentuk x = Ae 位t   y = Be 位t   dimana A, B, dan 位 adalah konstanta. Jika kita substitusikan bentuk eksponensial ke dalam persamaan awal, kita mendapatkan A位e 位t  = a₁Ae 位t  + b₁Be 位t   B位e 位t  = a₂Ae 位t  + b₂Be 位t   Persamaan-persamaan ini mengarah langsung ke sistem (a₁ – 位)A + b₁B = 0 a₂A + (b₂ – 位)B = 0 dalam variabel-variabel yang tidak ...
Read more »