Sudut Antara Dua Bidang (GAR)

Untuk menentukan sudut antara dua bidang, tentukan garis tumpuan (garis perpotongan dua bidang). Pilih satu titik yang terletak pada garis tumpuan, buat garis sejajar dengan garis tumpuan di masing-masing bidang.

Misal diberikan dua bidang V dan W, keduanya berpotongan di garis (V, W). Pilih satu titik yang terletak di (V, W), misal O. Buat garis melalui O tegak lurus (V, W) dan terletak di V, sebut saja garis g, buat juga garis melalui O tegak lurus (V, W) dan terletak di W, sebut saja garis l. Sudut antara bidang V dan W sama dengan sudut antara garis g dan l.

Misal dipilih satu titik terletak di g, misalnya A. Proyeksikan A ke l, terproyeksikan ke A'. Misal dibuat garis normal (garis tegak lurus bidang) melalui A, tegak lurus dengan V. Sudut antara AA' dengan garis normal tersebut sama dengan sudut antara kedua bidang.

Misal V: x.cos(𝛼₁) + y.cos(𝛽₁) + z.cos(𝛾₁) − d₁ = 0

W: x.cos(𝛼₂) + y.cos(𝛽₂) + z.cos(𝛾₂) − d₂ = 0

sehingga sudut antara v dan w dapat ditentukan menggunakan kosinus:

cos(𝜃) = cos(𝛼₁).cos(𝛼₂) + cos(𝛽₁).cos(𝛽₂) + cos(𝛾₁).cos(𝛾₂)

Misal persamaan bidangnya V: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0

W: A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

Sehingga

❑ Kasus khusus untuk dua bidang sejajar, berlaku perbandingan:

untuk kasus dimana perbandingan D juga sebanding, bidang tersebut berhimpit
❑ Untuk kasus dimana pembilangnya nol, sedangkan penyebut tidak nol, berarti kosinusnya nol, sehingga tegak lurus.

Contoh Soal

Tentukan persamaan bidang datar yang melalui (2, 1, 1) dan (3, 2, 2) serta tegak lurus dengan bidang datar x + 2y – 5z – 3 = 0.

Misal persamaan bidang W: Ax + By + Cz + D = 0

W melalui (2, 1, 1), sehingga berlaku 2A + B + C + D = 0 (i)

W melalui (3, 2, 2), sehingga berlaku 3A + 2B + 2C + D = 0 (ii)

(i) – (ii) → A + B + C = 0 (iii)

W tegak lurus dengan x + 2y – 5z – 3 = 0, sehingga berlaku A + 2B – 5C = 0 (iv)

(iv) – (iii) → B – 6C = 0 ⇔ B = 6C, masukkan ke (iii)

A + 6C + C = 0 ⇔ A = –7C, masukkan ke (i)

2.(–7C) + 6C + C + D = 0 ⇔ –7C + D = 0 ⇔ D = 7C

Misal dipilih C = 1, persamaan bidangnya adalah W: –7x + 6y + z + 7 = 0