Sudut Arah, Kosinus Arah, Bilangan Arah

1. Sudut Arah dan Kosinus Arah

Ketiga sudut yang dibuat oleh sebuah garis lurus ℓ dengan sumbu-sumbu koordinat x, y dan z, yaitu 𝛼, 𝛽, dan 𝛾 dinamakan sudut-sudut arah dari garis lurus tersebut. Jika kita buat melalui O sebuah garis lurus sejajar dengan ℓ, maka sudut-sudut yang dibuat oleh garis lurus ini dengan sumbu-sumbu koordinat adalah sudut arah dari ℓ. Jika P sebuah titik pada garis lurus ℓ' yang melalui O dan sejajar ℓ dengan koordinat-koordinat x, y dan z maka:

OA = x = OP.cos 𝛼; OB = y = OP.cos 𝛽; OC = z = OP.cos 𝛾

dengan menggunakan rumus Pythagoras kita tahu bahwa OA² + OB² + OC² = OP², mari kita uraikan bentuk ini:

OA² + OB² + OC² = OP² . cos²(𝛼) +  OP² . cos²(𝛽) +  OP² . cos²(𝛾)

OP² = OP².[cos²(𝛼) + cos²(𝛽) + cos²(𝛾)], bagi masing-masing ruas dengan OP²

cos²(𝛼) + cos²(𝛽) + cos²(𝛾) = 1

Jadi, hubungan kosinus ketiga sudut arah adalah cos²(𝛼) + cos²(𝛽) + cos²(𝛾) = 1.

2. Bilangan Arah

Tiga bilangan a, b dan c yang sebanding dengan kosinus-kosinus arah sebuah garis lurus ℓ, jadi untuk mana berlaku :

a:b:c= cos 𝛼: cos 𝛽: cos 𝛾, dinamakan bilangan-bilangan arah garis lurus ℓ. Untuk menentukan cosinus-cosinus arah dari tiga bilangan arah a, b dan c yang ditentukan, kita umpamakan:

cos 𝛼 = 𝜆a; cos 𝛽 = 𝜆b; dan cos 𝛾 = 𝜆c

Sekarang 𝜆 harus dipilih sedemikian sehingga :

cos²(𝛼) + cos²(𝛽) + cos²(𝛾) = 1

𝜆²a² + 𝜆²b² + 𝜆²c² = 𝜆²(a² + b² + c²) = 1

Jadi, nilai-nilai kosinusnya adalah:

3. Sudut Antara Dua Arah

Misal terdapat dua arah, yaitu ℓ₁ dengan sudut arahnya 𝛼₁, 𝛽₁, 𝛾₁ dan ℓ₂ dengan sudut arahnya 𝛼₂, 𝛽₂, 𝛾₂. Sudut antara keduanya, yaitu θ, dapat ditentukan sebagai berikut:

Misal ℓ₁ dengan vektornya a = (a₁, b₁, c₁) dan ℓ₂ dengan vektornya b = (a₂, b₂, c₂), sudut antara kedua vektor adalah:

𝑎 ∙ 𝑏 = ‖𝑎‖ ‖𝑏‖ cos⁡𝜃

Dapat juga dituliskan cos⁡(𝜃) = cos(𝛼₁)cos(𝛼₂) + cos(𝛽₁)cos(𝛽₂) + cos(𝛾₁)cos(𝛾₂)

(i) Kedua garis tegak lurus ketika 𝜃 = 90° sehingga cos⁡𝜃 = 0, tentunya hal ini terjadi ketika pembilangnya nol, dapat ditulis a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0.

(ii) Dua garis lurus adalah sejajar atau berimpit, jika mereka membuat sudut-sudut yang sama dengan sumbu-sumbu koordinat dan sebaliknya.

Jadi syarat untuk sejajar ialah: 𝛼₁ = 𝛼₂; 𝛽₁ = 𝛽₂; 𝛾₁ = 𝛾₂ 

Jadi, cos(𝛼₁) = cos(𝛼₂); cos(𝛽₁) = cos(𝛽₂); cos(𝛾₁) = cos(𝛾₂)

Jika arah garis lurus-garis lurus itu ditentukan oleh bilangan-bilangan arah a₁, b₁, c₁ dan a₂, b₂, c₂ maka syarat untuk sejajar adalah a₁/a₂ + b₁/b₂ + c₁/c₂ = k.