Transformasi Isometri

Suatu transformasi U merupakan suatu Isometri jika dan hanya jika untuk setiap dua titik P dan Q dipenuhi P'Q' = PQ dengan P' = U(P) dan Q' = U(Q). Dengan kata lain Isometri adalah transformasi yang mempertahankan jarak.

1. Isometri merupakan Kolineasi

Misalkan g suatu garis dan A dan B titik pada g dan U suatu isometri. Akan ditunjukkan bahwa U(g) adalah suatu garis.

Misalkan U(A) = A' dan U(B) = B' dan g' garis yang melalui A' dan B'.

Ambil sebarang titik C yang terletak di g. Dikarenakan isometri mempertahankan jarak, diharuskan A'B' = AB, A'C' = AC, dan B'C' = BC.

• Untuk (A, C, B) berlaku AC + CB = AB, sehingga diharuskan A'C' + C'B' = A'B' (i)

• Untuk (B, A, C) berlaku BA + AC = BC, sehingga diharuskan B'A' + A'C' = B'C' (ii)

• Untuk (A, B, C) berlaku AB + BC = AC, sehingga diharuskan A'B' + B'C' = A'C' (iii)

Andaikan C' tidak di g, berarti A'B'C' membentuk segitiga sehingga sisi terpanjang lebih pendek dari jumlah kedua sisi lainnya, sehingga mustahil terpenuhi (i), (ii), dan (iii). Oleh karena itu, pengandaian harus diingkar, sehingga untuk setiap C yang terletak di g, U(C) terletak di g'. Hal ini berarti U menghasilkan garis. Jadi, U merupakan kolineasi.

2. Isometri Mempertahankan Sudut

Misalkan suatu sudut PQR dengan Q sebagai titik sudut dan U suatu isometri.

Misal U(P) = P', U(Q) = Q' dan U(R) = R'. Dikarenakan U isometri, diharuskan P'Q' = PQ, P'R' = PR, dan Q'R' = QR. Apabila dibentuk 2 segitiga PQR dan P'Q'R' keduanya kongruen karena sisi-sisinya sama panjang, sehingga sudut-sudutnya sama besar.

Dikarenakan ∠PQR bertepatan dengan ∠P'Q'R' keduanya sama besar.

Jadi, isometri mempertahankan sudut.

3. Isometri Mempertahankan Kesejajaran

Misalkan dua buah garis g dan k, keduanya sejajar, tidak berpotongan, dan U suatu isometri.

Misal U(g) = g' dan U(k) = k'.

Andaikan g' dan k' berpotongan, berarti memiliki titik sekutu, misalnya A.

Misal B terletak di g' dan C terletak di k', berarti AB dan AC membentuk sudut dengan A sebagai titik sudutnya. Dikarenakan U isometri, U mempertahankan sudut, berarti prapeta dari A merupakan titik potong g dan k, ini kontradiksi dengan kesejajaran g dan k, sehingga pengandaian harus diingkar.

Oleh karena itu, g' dan k' tidak memiliki titik potong yang artinya sejajar.