Volume Tetrahedron dan Luas Segitiga pada Koordinat Cartesius

1. Volume Tetrahedron pada Koordinat Cartesius

Ingat kembali pada geometri ruang, dimana:

(i) Volume prisma segitiga sama dengan setengah volume parallelepipedum, dan 

(ii) Volume tetrahedron sama dengan sepertiga volume prisma segitiga

Oleh karena itu, volume tetrahedron sama dengan seperenam volume parallelepipedum.

Ingat kembali pada aljabar matriks, dimana volume parallelepipedum dapat ditentukan menggunakan perkalian skalar ganda tiga dari vektor, lalu dimutlakkan.

Misal diberikan 4 titik A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃), D(x₄, y₄, z₄), dapat dibentuk 3 vektor sebagai berikut:

Sedangkan untuk menentukan volumenya, gunakan perkalian skalar ganda tiga:

contoh:

Misal diberikan titik A(1, 1, 0), B(−4, 3, 6), C(−1, 0, 3), dan D(2, 4, −5). Tentukan volume tetrahedron yang terbentuk oleh keempat titik tersebut!

Jadi, volume tetrahedron yang terbentuk adalah 6 satuan.

2. Empat Titik Koplanar

Misal diberikan 4 titik A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃), D(x₄, y₄, z₄), untuk menyelidiki apakah keempat titik tersebut koplanar (terletak pada satu bidang datar), tentukan volume tetrahedron yang terbentuk.

Keempat titik koplanar jika dan hanya jika volume tetrahedron yang terbentuk dari keempat titik tersebut adalah nol.

V = 0.

3. Luas Segitiga pada Koordinat Cartesius

Ingat kembali bahwa luas segitiga sama dengan setengah luas jajargenjang, dan ingat kembali bahwa panjang vektor yang terbentuk dari hasil kali silang dua vektor sama dengan luas jajargenjang.

Misal diberikan 3 titik A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃), misal dipilih titik A sebagai titik pangkal dan kedua titik lainnya sebagai titik akhir untuk membuat vektor.

AB = (x₂ − x₁, y₂ − y₁, z₂ − z₁)

AC = (x₃ − x₁, y₃ − y₁, z₃ − z₁)

Kalikan kedua vektor yang terbentuk secara silang, lalu hitung panjangnya dan dibagi dengan 2, sehingga diperoleh luas segitiga.

contoh:

Misal diberikan tiga titik P(1, 0, 2), Q(−1, 0, 1) dan R(−1, 1, 3), tentukan luas segitiga yang terbentuk!

Pilih satu titik sebagai titik pangkal misal P, buat vektor berpangkal di P dan berakhir di titik lain

PQ = (−1 − 1, 0 − 0, 1 − 2) = (−2, 0, −1)

PR = (−1 − 1, 1 − 0, 3 − 2) = (−2, 1, 1)

Kalikan keduanya secara silang:

Tentukan luas segitiga dengan: