Hasil Kali Dalam

Sebelumnya, kita menotasikan hasil kali dalam (inner product) Euklidean dari dua vektor di Rn dengan notasi u · v. Pada bagian ini, akan lebih mudah untuk memperkenalkan notasi alternatif 〈u, v〉 untuk hasil kali dalam umum.

1. Definisi Hasil Kali Dalam

Hasil kali dalam pada ruang vektor real V adalah suatu fungsi yang mengaitkan sebuah bilangan real 〈u, v〉 dengan setiap pasangan vektor u dan v dalam V sedemikian sehingga aturan-aturan berikut terpenuhi untuk semua vektor u, v, dan w dalam V dan semua skalar k.

(i) Aturan Simetri

〈u, v〉 = 〈v, u〉

(ii) Aturan Aditif

〈u + v, w〉 = 〈u, w〉 + 〈v, w〉

(iii) Aturan Homogenitas

〈ku, v〉 = k〈u, v〉

(iv) Non-Negatif

〈v, v〉 ≥ 0, lebih khusus 〈v, v〉 = 0 jika dan hanya jika v = 0.

Ruang vektor real dengan hasil kali dalam disebut ruang hasil kali dalam real.

2. Hasil Kali Dalam Euclid di Rn

Jika u = (u₁, u₂, ..., u_n) dan v = (v₁, v₂, ..., v_n) adalah vektor-vektor di Rn, maka rumus

〈u, v〉 = u₁v₁ + u₂v₂ + ... + u_nv_n 

mendefinisikan 〈u, v〉 sebagai hasil kali dalam Euklidean di Rn. Keempat aturan hasil kali dalam dipenuhi.

Hasil kali dalam Euklidean adalah yang paling penting di Rn. Namun, ada berbagai aplikasi di mana kita ingin memodifikasi hasil kali dalam Euklidean dengan memberikan bobot yang berbeda pada setiap suku. Lebih tepatnya, jika w₁, w₂, ..., w_n adalah bilangan real positif, yang kita sebut sebagai bobot, dan jika u = (u₁, u₂, ..., u_n) dan v = (v₁, v₂, ..., v_n) adalah vektor-vektor di Rn, maka dapat ditunjukkan bahwa rumus

〈u, v〉 = w₁u₁v₁ + w₂u₂v₂ + ... + w_nu_nv_n 

mendefinisikan sebuah hasil kali dalam di Rn; ini disebut hasil kali dalam Euklidean terbobot dengan bobot w₁, w₂, ..., w_n.

Untuk mengilustrasikan salah satu cara munculnya hasil kali dalam Euklidean terbobot, misalkan suatu eksperimen fisik dapat menghasilkan salah satu dari n nilai numerik yang mungkin:

x₁, x₂, ..., x_n 

dan serangkaian m pengulangan eksperimen menghasilkan nilai-nilai ini dengan frekuensi yang berbeda-beda; yaitu, x₁ muncul f₁ kali, x₂ muncul f₂ kali, dan seterusnya. Karena ada total m pengulangan eksperimen, maka:

f₁ + f₂ + ... + f_n = m

Dengan demikian, rata-rata hitung, atau mean, dari nilai-nilai numerik yang diamati (dinyatakan dengan x̄) adalah:

x̄ = (f₁x₁ + f₂x₂ + ... + f_nx_n)/m

Jika kita misalkan:

f = (f₁, f₂, ..., f_n)

x = (x₁, x₂, ..., x_n)

w₁ = w₂ = ... = w_n = 1/m

x̄ dapat dinyatakan sebagai hasil kali dalam terbobot:

x̄ = 〈f, x〉 = w₁f₁x₁ + w₂f₂x₂ + ... + w_nf_nx_n 

Catatan: Selalu diasumsikan bahwa Rn memiliki hasil kali dalam Euklidean kecuali jika hasil kali dalam lain secara eksplisit ditentukan. Seperti kita menyebut Rn dengan hasil kali dalam Euklidean sebagai ruang Euklidean n-dimensi.

3. Panjang dan Jarak di Ruang Hasil Kali Dalam

Sebelum membahas lebih lanjut hasil kali dalam, kita akan menjelaskan terlebih dahulu bagaimana hasil kali dalam digunakan untuk memperkenalkan konsep panjang dan jarak dalam ruang hasil kali dalam. Ingatlah bahwa dalam ruang Euklidean n-dimensi, panjang Euklidean dari vektor u = (u₁, u₂, ..., u_n) dapat dinyatakan dalam bentuk hasil kali dalam Euklidean sebagai:

‖u‖ = √(u · u)

dan jarak Euklidean antara dua titik sembarang u = (u₁, u₂, ..., u_n) dan v = (v₁, v₂, ..., v_n) dapat dinyatakan sebagai:

d(u, v) = ‖u − v‖ = √[(u − v) · (u − v)]

Jika V adalah suatu ruang hasil kali dalam, maka norm (atau panjang) dari sebuah vektor u dalam V dinotasikan dengan ‖u‖ dan didefinisikan sebagai:

‖u‖ = √〈u, u〉

Jarak antara dua titik (vektor) u dan v dinotasikan dengan d(u, v) dan didefinisikan sebagai:

d(u, v) = ‖u − v‖

Vektor yang panjangnya 1 disebut vektor satuan.

4. Panjang dan Jarak di Rn

Misal u = (u₁, u₂, ..., u_n) dan v = (v₁, v₂, ..., v_n) keduanya vektor-vektor di Rn dengan hasil kali dalam Euclid, panjang vektor u didefinisikan sebagai:

sedangkan jarak antara u dan v didefinisikan sebagai:

5. Lingkaran dan Bola Satuan

Jika V ruang hasil kali dalam, maka himpunan titik-titik di V yang memenuhi ‖u‖ = 1 disebut bola satuan atau lingkaran satuan di V. Di R2 dan R3, titik-titik ini berjarak 1 satuan dari titik O.

(a) Buatlah lingkaran satuan di R2 menggunakan hasil kali dalam Euclid 〈u, v〉 = u₁v₁ + u₂v₂!

Misal u = (x, y), ‖u‖² = x² + y². Untuk ‖u‖ = 1, x² + y² = 1

Gambar yang terbentuk adalah lingkaran berpusat di O dan jari-jari 1.
(b) Buatlah lingkaran satuan di R2 menggunakan hasil kali dalam Euclid berbobot 〈u, v〉 = ⅑u₁v₁ + ¼u₂v₂!

Misal u = (x, y), ‖u‖² = ⅑x² + ¼y². Untuk ‖u‖ = 1, x²/9 + y²/4 = 1

Gambar yang terbentuk adalah ellips berpusat di O dengan sumbu-x sebagai sumbu mayor dan sumbu-y sebagai sumbu minor.
Secara analog, hasil kali dalam Euclid berbobot di R3 menghasilkan ellipsoid.

Sixtyfourians mungkin merasa agak janggal dengan hasil pada contoh terakhir, karena meskipun definisi panjang dan jarak kita berkorespondensi dengan definisi standar ketika diterapkan pada R² dengan hasil kali dalam Euklidean, namun membutuhkan sedikit imajinasi untuk menganggap "lingkaran satuan" memiliki bentuk elips. Namun, meskipun hasil kali dalam non-standar mendistorsi ruang yang familiar dan menghasilkan nilai-nilai aneh untuk panjang dan jarak, banyak teorema dasar geometri Euklidean tetap berlaku dalam ruang-ruang yang tidak biasa ini.

Misalnya, sebuah fakta dasar dalam geometri Euklidean adalah jumlah panjang dua sisi segitiga setidaknya sama dengan panjang sisi ketiga. Kita akan menyatakan bahwa hasil yang familiar ini berlaku dalam semua ruang hasil kali dalam, terlepas dari seberapa tidak biasa hasil kali dalamnya. Sebagai contoh lain, ingatlah teorema dari geometri Euklidean yang menyatakan bahwa jumlah kuadrat diagonal suatu jajar genjang sama dengan jumlah kuadrat keempat sisinya. Hasil ini juga berlaku dalam semua ruang hasil kali dalam, terlepas dari hasil kali dalamnya.

Ketika kita menggunakan hasil kali dalam yang berbeda dari hasil kali dalam Euklidean, bentuk objek-objek geometri yang familiar bisa berubah. Misalnya, "lingkaran satuan" bisa menjadi elips. Meskipun bentuk objek-objek berubah, banyak teorema dasar dalam geometri masih berlaku. Contohnya, teorema tentang jumlah panjang sisi segitiga dan teorema tentang diagonal jajar genjang. Ini menunjukkan bahwa konsep hasil kali dalam memberikan cara yang lebih umum untuk melihat geometri. Konsep-konsep dasar geometri yang kita pelajari di sekolah sebenarnya adalah kasus khusus dari konsep yang lebih umum dalam ruang hasil kali dalam.

Konsep hasil kali dalam memberikan fleksibilitas dalam mendefinisikan panjang dan jarak dalam ruang vektor. Meskipun bentuk objek-objek geometri bisa berubah, banyak sifat dasar geometri tetap berlaku. Ini menunjukkan bahwa konsep hasil kali dalam adalah alat yang sangat kuat untuk mempelajari geometri dalam ruang vektor yang lebih umum.

6. Hasil Kali Dalam Matriks

Hasil kali dalam Euklidean dan hasil kali dalam Euklidean terbobot adalah kasus khusus dari kelas umum hasil kali dalam pada Rn, yang akan kita jelaskan sekarang. Misalkan

adalah vektor-vektor di Rn (dinyatakan sebagai matriks n × 1), dan misalkan A adalah matriks n x n yang dapat dibalik. Dapat ditunjukkan bahwa jika u · v adalah hasil kali dalam Euklidean pada Rn, maka rumus
〈u, v〉 = Au · Av

mendefinisikan sebuah hasil kali dalam; ini disebut hasil kali dalam pada Rn yang dihasilkan oleh A.

Mengingat bahwa hasil kali dalam Euklidean u · v dapat ditulis sebagai perkalian matriks vᵀu, maka dapat ditulis dalam bentuk alternatif

〈u, v〉 = (Av)ᵀAu

boleh juga ditulis 〈u, v〉 = vᵀ.Aᵀ.A.u

Jika kita memiliki sebuah matriks A yang memenuhi syarat tertentu (dapat dibalik), kita dapat mendefinisikan hasil kali dalam baru pada ruang vektor Rn dengan menggunakan matriks A. Hasil kali dalam ini tidak hanya terbatas pada bentuk sederhana seperti hasil kali dalam Euklidean atau hasil kali dalam Euklidean terbobot.

Matriks A berperan sebagai "penghubung" antara dua vektor u dan v. Dengan mengalikan masing-masing vektor dengan matriks A terlebih dahulu, lalu melakukan hasil kali dalam Euklidean pada hasil perkalian tersebut, kita mendapatkan hasil kali dalam yang baru.

Konsep hasil kali dalam yang dihasilkan oleh matriks memberikan kita fleksibilitas yang lebih besar dalam mendefinisikan struktur geometri pada ruang vektor. Dengan memilih matriks A yang berbeda, kita dapat memperoleh berbagai jenis hasil kali dalam yang sesuai dengan kebutuhan aplikasi yang berbeda-beda.

7. Hasil Kali Dalam Matriks Identitas dan Matriks Diagonal

Hasil kali dalam di Rn yang dihasilkan oleh matriks identitas berukuran n × n adalah hasil kali dalam Euclid yang dituliskan:

〈u, v〉 = Iu · Iv = u · v

Secara umum, hasil kali dalam Euclid berbobot

〈u, v〉 = w₁u₁v₁ + w₂u₂v₂ + ... + w_nu_nv_n 

adalah hasil kali dalam di Rn yang dihasilkan oleh matriks diagonal

8. Hasil Kali Dalam Matriks dengan Matriks

Diberikan dua matriks U dan V dengan ukuran m × n sebagai berikut:

Kita definisikan hasil kali dalam matriks U dan V sebagai:

〈U, V〉 = tr(UᵀV) = tr(VᵀU) = u₁₁v₁₁ + u₁₂v₁₂ + ... + u_mnv_mn dalam bentuk simbol:

Hasil kali dalam matriks U dengan V adalah jumlah hasil kali setiap elemen yang seletak.

Norm matriks U berdasarkan hasil kali dalam adalah:

norm matriks U adalah akar dari jumlah kuadrat setiap elemennya.
Bola satuan di ruang ini memuat semua matriks U berukuran m × n yang memenuhi ‖U‖ = 1, kuadratkan masing-masing ruas, sehingga menjadi:

9. Hasil Kali Dalam Fungsi Polinom

Diberikan dua fungsi polinom

p = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_nxⁿ dan q = b₀ + b₁x + b₂x² + ... + b_nxⁿ 

keduanya vektor di Pn. Kita definisikan hasil kali dalam untuk Pn sebagai:

〈p, q〉 = a₀b₀ + a₁b₁ + ... + a_nb_n 

Norm dari fungsi polinom p berdasarkan hasil kali dalam adalah:

Bola satuan di ruang ini memuat semua polinom p di Pn yang memenuhi ‖p‖ = 1, kuadratkan masing-masing ruas, sehingga menjadi:

a₀² + a₁² + a₂² + ... + a_n² = 1

10. Hasil Kali Dalam Fungsi pada Interval Tertutup

Misal C[a, b] adalah himpunan semua fungsi kontinu pada interval tertutup [a, b].

Misal f = f(x) dan g = g(x) keduanya fungsi pada interval tertutup C[a, b], didefinisikan hasil kali dalamnya sebagai:

Norm dari fungsi f berdasarkan hasil kali dalam adalah:

Bola satuan di ruang ini memuat semua fungsi f di C[a, b] yang memenuhi ‖f‖ = 1, kuadratkan masing-masing ruas, sehingga menjadi:

Catatan: Ingat kembali bahwa panjang busur dari kurva y = f(x) pada interval [a, b] diberikan oleh rumus:

Jangan salah mengartikan konsep panjang busur ini dengan ‖f‖, yang merupakan panjang (norm) dari f ketika f dipandang sebagai sebuah vektor dalam [a, b].

11. Aturan-Aturan Hasil Kali Dalam

Untuk semua vektor u, v, dan w dalam V dan semua skalar k.

(a) Unsur Nol

〈0, v〉 + 〈v, 0〉 = 0

(b) Sifat Distributif

〈u, v + w〉 = 〈u, v〉 + 〈u, w〉

(c) Perkalian dengan Skalar

〈u, kv〉 = k〈u, v〉

(d) Sifat Distributif Pengurangan

〈u − v, w〉 = 〈u, w〉 − 〈v, w〉

〈u, v − w〉 = 〈u, v〉 − 〈u, w〉