Jarak Titik dan Garis
1. Jarak Titik ke Garis
Misal diberikan titik P dan garis g, untuk menentukan jarak P ke g, terdapat 2 cara:
A. Menggunakan Bidang
1. Buat bidang datar V melalui P tegak lurus g
2. Tentukan titik Q yang merupakan titik potong garis g dengan bidang V
3. Jarak P ke g sama dengan jarak PQ
B. Menggunakan Segitiga
1. Pilih 2 titik yang terletak di garis g, misal Q dan R
2. Buat segitiga PQR
3. Jarak P ke g sama dengan tinggi segitiga PQR dari sisi QR
Contoh:
1. Tentukan jarak titik P(1, 2, 0) ke garis g: (x + 1)/2 = y − 2 = 1 − z
Diketahui P(1, 2, 0), garis g melalui (−1, 2, 1) dengan bilangan arah (2, 1, −1)
Cara I: Menggunakan Bidang
(i) Buat bidang melalui P tegak lurus g
Misal V: Ax + By + Cz + D = 0, karena tegak lurus dengan g, bilangan arahnya sebanding
V: 2x + y − z + D = 0
Karena melalui P(1, 2, 0), berlaku 2.1 + 1.2 − 0 + D = 0
4 + D = 0
D = −4
V: 2x + y − z − 4 = 0
(ii) Tentukan titik potong g dengan V
Garis g melalui (−1, 2, 1) dengan bilangan arah (2, 1, −1), persamaan garis g dalam bentuk parameter adalah g: (x, y, z) = (−1, 2, 1) + t(2, 1, −1), masukkan ke persamaan bidang V
2(−1 + 2t) + (2 + t) − (1 − t) − 4 = 0
−2 + 4t + 2 + t − 1 + t − 4 = 0
6t − 5 = 0
t = ⅚, masukkan ke persamaan parameter
Koordinat Q adalah (−1, 2, 1) + ⅚(2, 1, −1) = (⅔, 17/6, ⅙)
(iii) Tentukan jarak PQ
|PQ|² = (⅔ − 1)² + (17/6 − 2)² + (⅙ − 0)² = 1/9 + 25/36 + 1/36 = 5/6
Cara II: Menggunakan Segitiga
(i) Pilih 2 titik yang terletak di g
Garis g melalui Q(−1, 2, 1) dengan bilangan arah (2, 1, −1)
Misal dipilih t = 1, diperoleh koordinat R(−1 + 2, 2 + 1, 1 − 1) = R(1, 3, 0)
(ii) Buat segitiga PQR, tentukan tingginya
Diberikan segitiga PQR dengan koordinat P(1, 2, 0), Q(−1, 2, 1), R(1, 3, 0).
Buat vektor PR = (1 − 1, 3 − 2, 0 − 0) = (0, 1, 0) dan QR = (2, 1, −1)
Kalikan silang kedua vektor:
‖饾憙饾憛 × 饾憚饾憛‖ = ‖(−1, 0, −2)‖ = √5
Luas segitiga sama dengan setengah panjang vektor, yaitu ½√5.
Jarak |QR| sama dengan panjang vektor QR, yaitu |QR| = ‖QR‖ = ‖(2, 1, −1)‖ = √6
Tinggi segitiga dari sisi QR adalah dua kali luas dibagi panjang sisi QR, yaitu:
Perhitungan jarak titik ke garis menggunakan kedua cara sama saja hasilnya, silahkan Sixtyfourians memilih cara yang disukai.
2. Tentukan jarak titik P(1, 2, 0) ke garis l: x + 2y − z + 3 = 0, x − y − z + 2 = 0
(i) Buat bidang melalui P tegak lurus l
Bilangan arah garis l adalah:
V: x + z + D = 0
Karena V melalui P(1, 2, 0), berlaku
1 + 0 + D = 0
D = −1
V: x + z − 1 = 0
(ii) Tentukan titik potong g dengan V
Sampel titik yang dilalui oleh l: x + 2y − z + 3 − (x − y − z + 2) = 0
3y + 1 = 0
y = −⅓, masukkan ke x + 2y − z + 3 = 0
x − ⅔ − z + 3 = 0
x − z + 7/3 = 0
Misal dipilih x = −⅓, z = 2
Titik (−⅓, −⅓, 2) dilalui oleh garis l, sehingga persamaan garis l dalam parameter
l: (x, y, z) = (−⅓, −⅓, 2) + t(1, 0, 1), masukkan ke persamaan bidang V
−⅓ + t + 2 + t − 1 = 0
2t + ⅔ = 0
t = −⅓
Koordinat titik potong g dengan V adalah (−⅓, −⅓, 2) − ⅓(1, 0, 1) = Q(−⅔, −⅓, 5/3)
(iii) Tentukan jarak PQ
|PQ|² = (−⅔ − 1)² + (−⅓ − 2)² + (5/3 − 0)² = 25/9 + 49/9 + 25/9 = 11
|PQ| = √11 ≈ 3,31662479
Jadi, jarak titik P ke garis g adalah 3,3166 satuan.
2. Jarak Dua Garis Sejajar
Untuk menentukan jarak dua garis sejajar, pilih satu titik di salahsatu garis, lalu tentukan jaraknya ke garis yang satunya.
Contoh: Tentukan jarak antara garis g: (x − 1)/2 = y = (z + 2)/2 ke garis k: (1 + x)/2 = y + 1 = (z + 1)/2
• Bilangan arah garis g adalah (2, 1, 2) dan bilangan arah garis k adalah (2, 1, 2), karena sebanding, kedua garis sejajar.
• Pilih satu titik di garis k, misal P(1, 0, 1)
• Tentukan jarak P ke g
Misal dipilih cara II, yaitu tinggi segitiga
Pilih dua titik di garis g, misal Q(1, 0, −2) dan R(3, 1, 0)
Buat vektor QP = (0, 0, 3) dan QR = (2, 1, 2)
Kalikan silang kedua vektor
2[PQR] = ‖QP × QR‖ = 3√5
Sedangkan panjang sisi QR sama dengan norm vektor nya, |QR| = ‖QR‖ = ‖(2, 1, 2)‖ = 3.
Tinggi segitiga PQR dari sisi PQ adalah 2[PQR]/|QR| = (3√5)/3 = √5 ≈ 2,236068
Jadi, jarak antara garis g dan k adalah 2,236 satuan.
3. Jarak Dua Garis Bersilangan
Misal garis g dan h bersilangan, berikut langkah-langkah untuk menentukan jaraknya:
1. Buat bidang V melalui g sejajar h
2. Pilih satu titik di h, misal P
3. Tentukan jarak P ke V, jarak ini sama dengan jarak kedua garis.
Contoh: Tentukan jarak antara garis g: x − 1 = (y + 2)/2 = (z − 2)/3 dan garis k: x − 3 = (y − 4)/2 = −z − 2
• Bilangan arah garis g adalah (1, 2, 3), bilangan arah garis k adalah (1, 2, −1). Karena bilangan arahnya tidak sebanding, garis g dan k tidak searah (tidak searah berarti berpotongan atau bersilangan).
• Misalkan g dan k berpotongan di P(a, b, c). P pada g dipenuhi a − 1 = (b + 2)/2 = (c − 2)/3 = 位
a = 位 + 1, b = 2位 − 2, c = 3位 + 2
Andaikan P juga di k, akan dipenuhi 位 + 1 − 3 = (2位 − 2 − 4)/2 = −(3位 + 2) − 2
位 − 2 = 位 − 3 = −3位 − 4
Mustahil dipenuhi 位 − 2 = 位 − 3, oleh karena itu P tidak mungkin di k, dengan kata lain g dan k tidak berpotongan. Oleh karena itu g dan k bersilangan.
• Buat bidang V melalui g sejajar k
Misal persamaan bidang V: Ax + By + Cz + D = 0
V melalui g, berarti sudut antara V dan g adalah nol, sehingga berlaku A + 2B + 3C = 0 (i)
V sejajar k, berarti sudut antara V dan k adalah nol, sehingga berlaku A + 2B − C = 0 (ii)
(i) − (ii) → 4C = 0 ↔ C = 0, masukkan ke (ii)
A + 2B = 0 ↔ A = −2B
Misal dipilih B = −1, persamaan bidang V adalah V: 2x − y + D = 0
V melalui g, berarti V melalui semua titik yang ada di g, pilih satu, misal (1, −2, 2), berlaku
2.1 − (−2) + D = 0
D = −4
Persamaan bidang V: 2x − y − 4 = 0
• Pilih satu titik di k, misal P(3, 4, −2), tentukan jarak P ke V
4. Menentukan Ruas Garis Hubung Terpendek dari Dua Garis Bersilangan
1. Misalkan g dan k dua garis bersilangan.
2. Menentukan jarak g dan k adalah sebagai berikut:
i) Bidang V yang melalui g sejajar k;
ii) Pilih titik P pada k, kemudian tentukan jarak P ke V.
3. Tentukan bidang W yang melalui k tegak lurus V.
4. Tentukan titik potong g dengan W misalkan Q. Buat garis melalui Q tegak lurus V maka garis tersebut akan memotong k di R.
Contoh: Tentukan ruas garis hubung terpendek dari garis g: x − 1 = (y + 2)/2 = (z − 2)/3 dan garis k: x − 3 = (y − 4)/2 = −z − 2
• Bilangan arah garis g adalah (1, 2, 3), bilangan arah garis k adalah (1, 2, −1).
• Ingat kembali bahwa persamaan bidang V melalui g sejajar k adalah V: 2x − y − 4 = 0.
• Buat bidang W melalui k tegak lurus V.
Misal persamaan bidang W: Ax + By + Cz + D = 0
W melalui k, sehingga berlaku A + 2B − C = 0 (i)
W tegak lurus V, sehingga berlaku 2A − B = 0 (ii)
(i) + 2(ii) → 5A − C = 0 ↔ C = 5A, masukkan ke (i)
A + 2B − 5A = 0 ↔ 2B − 4A = 0 ↔ B = 2A
Misal dipilih A = 1 → B = 2 dan C = 5
Persamaan bidang W: x + 2y + 5z + D = 0
W melalui k, semua titik yang dilalui k juga dilalui W, pilih titik (3, 4, −2), berlaku:
3 + 2.4 + 5.(−2) + D = 0
1 + D = 0
D = −1
Persamaan bidang W: x + 2y + 5z − 1 = 0
• Tentukan titik potong g dengan W, misalkan Q.
Persamaan garis g dalam bentuk parameter adalah g: (x, y, z) = (1, −2, 2) + 位(1, 2, 3), masukkan ke persamaan bidang W
1 + 位 + 2(−2 + 2位) + 5(2 + 3位) − 1 = 0
1 + 位 + −4 + 4位 + 10 + 15位 − 1 = 0
20位 + 6位 = 0
位 = −3/10
Koordinat titik Q adalah (x, y, z) = (1, −2, 2) − (3/10)(1, 2, 3) = Q(7/10, −13/5, 11/10)
• Buat garis melalui Q tegak lurus V
Garis n melalui Q sehingga berlaku n: (x, y, z) = (7/10, −13/5, 11/10) + 位(a, b, c)
Garis n tegak lurus V, sehingga bilangan arahnya sebanding, persamaan garis n adalah
n: (x, y, z) = (7/10, −13/5, 11/10) + 位(2, −1, 0)
• Potongkan garis k dengan n, misal berpotongan di R
n: (x, y, z) = (7/10, −13/5, 11/10) + 位(2, −1, 0)
R(a, b, c) = R(7/10 + 2位, −13/5 − 位, 11/10)
R juga terletak di k, sehingga berlaku:
a − 3 = (b − 4)/2 = −c − 2
7/10 + 2位 − 3 = (−13/5 − 位 − 4)/2 = −11/10 − 2
2位 − 23/10 = (−33/5 − 位)/2 = −31/10
Perhatikan ruas kiri dan kanan
2位 − 23/10 = −31/10
2位 = −8/10 = −4/5
位 = −⅖
Koordinat titik R adalah R(7/10 + 2(−⅖), −13/5 − (−⅖), 11/10) = R(−1/10, −11/5, 11/10)
Ruas garis QR merupakan ruas garis hubung terpendek dari garis g dan k.
Komentar
Posting Komentar