Lebih Lanjut Setengah Putaran

1. Isometri

Setengah putaran merupakan isometri.

Perhatikan gambar berikut:

Misal diberikan titik A, B, dan H_P setengah putaran terhadap titik P. Misal H_P(A) = A' dan H_P(B) = B'. Berdasarkan definisi, P merupakan titik tengah AA' dan BB' sehingga APA' dan BPB' kolinear. Oleh karena itu |AP| = |A'P| dan |BP| = |BP'|. Selain itu, ∠APB = ∠A'PB' karena bertolak belakang.

Jadi, ∆APB ≅ ∆A'PB'. Dari kekongruenannya berlaku |AB| = |A'B'|. Dengan kata lain, setengah putaran merupakan isometri.

2. Kolineasi

Setengah putaran merupakan kolineasi.

Misal diberikan garis g: ax + by + c = 0 dan H_P setengah putaran terhadap titik P.

Misal P(p, q), H_P: (x', y') = −(x, y) + 2(p, q), sehingga H_P^-1: (x, y) = −(x', y') + 2(p, q)

g: a(−x' + 2p) + b(−y' + 2q) + c = 0

g: −ax' + 2ap − by' + 2bq + c = 0

g: −ax' − by' + 2ap + 2bq + c = 0

H_P(g) = g': −ax − by + 2ap + 2bq + c = 0

Persamaan g' merupakan persamaan garis, artinya setengah putaran yang dikenakan pada garis menghasilkan garis. Jadi, setengah putaran merupakan kolineasi.

3. Kesejajaran

Misal diberikan garis g dan setengah putaran H. H(g) = g' sejajar dengan g.

Ingat kembali poin sebelumnya:

Diberikan garis g: ax + by + c = 0

H_P(g) = g': −ax − by + 2ap + 2bq + c = 0

Gradien garis g' adalah a/(−b) = −a/b, sama dengan gradien garis g, sehingga g' sejajar dengan g.

Jadi, garis dari setengah putaran sejajar dengan garis awal.

4. Keberadaan Invarian (Unsur Tetap)

Satu-satunya titik tetap dari H_P adalah P sendiri, sedangkan garis-garis tetap adalah garis yang melalui P.

(a) Berdasarkan definisi setengah putaran, jelas bahwa satu-satunya titik tetap adalah P.

(b) Misal diberikan garis g: ax + by + c = 0

Ingat kembali bahwa H_P(g) = g': −ax − by + 2ap + 2bq + c = 0

Agar g' merupakan garis yang sama dengan g, diharuskan −a/a = −b/b = (2ap + 2bq + c)/c = 0

−1 = (2ap + 2bq + c)/c

2ap + 2bq + c = −c

2ap + 2bq + 2c = 0

ap + bq + c = 0, hal ini berlaku ketika titik P(p, q) terletak pada garis g: ax + by + c = 0.

Jadi, agar g merupakan garis tetap, diharuskan melalui titik P. Begitu juga garis-garis yang melalui P akan menjadi garis tetap.

5. Komposisi

Hasil komposisi dari dua setengah putaran merupakan geseran.

Misal diberikan titik P(a, b), Q(c, d), R(e, f) dan H setengah putaran.

H_P(R) = R'(e', f') = (−e + 2a, −f + 2b)

H_QH_P(R) = H_Q(R') = R''(e'', f'') = (e − 2a + 2c, f − 2b + 2d) = (e, f) + 2(c − a, d − b)

Jadi, komposisi H_Q ∘ H_P adalah geseran dengan vektor geseran 2PQ.

Tambahan: Kasus khusus B titik tengah AC, berlaku H_BH_A = S_AC = H_CH_B.

6. Non-Kolinear

Misal tiga titik A, B, C tidak kolinear dan suatu titik D sehingga AD = BC, berlaku H_CH_BH_A = H_D.

Perhatikan gambar berikut:

Misal A(x_A, y_A), B(x_B, y_B), C(x_C, y_C)

BC = (x_C − x_B, y_C − y_B)

Dikarenakan AD = BC, koordinat D = S_BC(A) = (x_A + x_C − x_B, y_A + y_C − y_B).

Ingat kembali bahwa komposisi H_BH_A adalah geseran dengan vektor geseran 2AB.

H_BH_A: S_2AB = (x + 2x_B − 2x_A, y + 2y_B − 2y_A)

H_CH_BH_A: −(x + 2x_B − 2x_A, y + 2y_B − 2y_A) + 2(x_C, y_C) = (−x − 2x_B + 2x_A + 2x_C, −y − 2y_B + 2y_A + 2y_C)

H_D: (x', y') = −(x, y) + 2(x_A + x_C − x_B, y_A + y_C − y_B) = (−x + 2x_A + 2x_C − 2x_B , −y + 2y_A + 2y_C − 2y_B).

Jadi, H_CH_BH_A = H_D.

7. Reverse (Pembalikan Urutan) Tiga Titik

Diberikan sebarang tiga titik A, B, C, berlaku H_CH_BH_A = H_AH_BH_C.

Ingat kembali bahwa H_CH_BH_A: −(x + 2x_B − 2x_A, y + 2y_B − 2y_A) + 2(x_C, y_C) = (−x − 2x_B + 2x_A + 2x_C, −y − 2y_B + 2y_A + 2y_C)

Ingat kembali bahwa komposisi H_BH_C adalah geseran dengan vektor geseran 2CB.

H_BH_C: S_2CB = (x + 2x_B − 2x_C, y + 2y_B − 2y_C)

H_AH_BH_C: −(x + 2x_B − 2x_C, y + 2y_B − 2y_C) + 2(x_A, y_A) = (−x − 2x_B + 2x_C + 2x_A, −y − 2y_B + 2y_C + 2y_A)

Jadi, H_CH_BH_A = H_AH_BH_C.

8. Kesejajaran

Setengah putaran mempertahankan kesejajaran.

Misal diberikan dua garis g dan h, dengan keduanya sejajar. Misal H setengah putaran, ingat kembali bahwa H(g) = g' // g, tentu juga H(h) = h' // h.

Karena g' // g, g // h dan h // h', maka g' // h'. Jadi, setengah putaran mempertahankan kesejajaran.

9. Besar Sudut

Setengah putaran mempertahankan besar sudut.

Misal P(a, b), Q(c, d) dan R(e, f).

Misal dibuat vektor masing-masing berpangkal di Q, akan diperoleh dua buah vektor, yaitu:

QP = (a − c, b − d) dan QR = (e − c, f − d)

Dan ∠PQR sama dengan sudut antara kedua vektor.

Misal titik S(g, h) dan H_S setengah putaran terhadap S.

H_S(P) = P'(−a + 2g, −b + 2h)

H_S(Q) = Q'(−c + 2g, −d + 2h)

H_S(R) = R'(−e + 2g, −f + 2h)

Misal dibuat vektor masing-masing berpangkal di Q', akan diperoleh dua buah vektor, yaitu:

Q'P' = (c − a, d − b) = −QP dan Q'R' = (c − e, d − f) = −QR

Vektor baru dari hasil setengah putaran, adalah vektor yang panjangnya sama tetapi arahnya berlawanan.

Apabila dihitung kosinus sudut antara kedua vektor, akan diperoleh hasil yang sama antara sudut lama dengan sudut baru. Ini berarti sudut baru sama besar dengan sudut lama.

Jadi, setengah putaran mempertahankan besar sudut.

Contoh Soal

Diberikan dua titik A, B masing-masing dengan koordinat (1, 2) dan (4, 6). Tentukan dua buah setengah putaran H_P dan H_Q sedemikian sehingga H_PH_Q = S_AB. Kemudian jika titik C(a, b) maka tentukan titik C agar H_CH_BH_A = H_B!

(i) Ingat kembali bahwa komposisi H_PH_Q adalah geseran dengan vektor geseran 2QP.

Diberikan geseran dengan vektor geseran AB = (4 − 1, 6 − 2) = (3, 4) dan AB = 2QP sehingga:

QP = ½AB = (3/2, 2), misal titik Q(x_q, y_q), koordinat titik P adalah P(x_q + 3/2, y_q + 2).

(ii) Diberikan titik C(a, b), A(1, 2), B(4, 6).

Ingat kembali bahwa komposisi H_BH_A adalah geseran dengan vektor geseran 2AB = 2(3, 4) = (6, 8).

Sehingga H_BH_A = S_2AB : (x', y') = (x + 6, y + 8)

H_CH_BH_A = H_CS_2AB : (x'', y'') = (−x' + 2a, −y' + 2b) = (−x − 6 + 2a, −y − 8 + 2b)

H_B: (x', y') = (−x + 2.4, −y + 2.6) = (−x + 8, −y + 12)

Agar H_CH_BH_A = H_B diharuskan (−x − 6 + 2a, −y − 8 + 2b) = (−x + 8, −y + 12)

− 6 + 2a = 8 dan − 8 + 2b = 12

a = 7 dan b = 10

Jadi, C(7, 10)