Refleksi (Pencerminan)

1. Definisi

Pencerminan terhadap garis s, yang dinyatakan M_s adalah pemetaan yang memenuhi:

• M_s(A) = A, untuk A terletak di s

• M_s(B) = B', untuk B di luar s, sehingga s adalah garis sumbu dari segmen BB'.

Ingat kembali bahwa garis sumbu adalah garis yang tegak lurus dengan suatu segmen dan melalui pertengahan segmen.

2. Refleksi Merupakan Transformasi

• Berdasarkan definisi, setiap titik di V selalu memiliki tepat satu peta.

• Ambil sebarang P' di V.

Untuk P' terletak di garis s, jelas bahwa P' memiliki prapeta, yaitu P' itu sendiri berdasarkan definisi. 

Sedangkan untuk P' di luar s, dapat dipastikan selalu ada titik P ∈ V ∋ s garis sumbu segmen PP', ini berarti M_s(P) = P'.

Dikarenakan untuk setiap P' ∈ V memiliki prapeta, refleksi merupakan fungsi surjektif.

• Ambil sebarang A, B ∈ V dengan A ≠ B.

Untuk A dan B terletak di s, jelas bahwa M_s(A) = A dan M_s(B) = B, sehingga dapat dipastikan M_s(A) ≠ M_s(B).

Untuk A di s dan B tidak di s, M_s(A) = A yang terletak di s, dan M_s(B) = B' yang tidak terletak di s, jelas dipenuhi bahwa M_s(A) ≠ M_s(B).

Untuk A dan B tidak di s, andaikan M_s(A) = M_s(B), berarti segmen AA' ⊥ s dan segmen BB' ⊥ s. Konsekuensinya, melalui satu titik A' terdapat dua garis lurus berbeda yang tegak lurus dengan s. Hal ini kontradiksi dengan aksioma bahwa melalui suatu titik dapat dibuat tepat satu garis tegak lurus. Pengandaian ini harus diingkar dan yang benar adalah M_s(A) ≠ M_s(B).

Dikarenakan untuk setiap A ≠ B selalu M_s(A) ≠ M_s(B), refleksi merupakan fungsi injektif.

∴ Karena refleksi merupakan fungsi bijektif (surjektif sekaligus injektif) yang memetakan dari V ke V, refleksi merupakan transformasi. ∎

3. Isometri

Pencerminan merupakan isometri.

A. Untuk A dan B terletak di s

A' = M_s(A) = A dan B' = M_s(B) = B, sehingga jelas bahwa |A'B'| = |AB|

B. Untuk A di s dan B di luar s

Perhatikan segitiga ABC dan AB'C

(i) |AC| = |AC| karena berhimpit

(ii) ∠ACB = ∠ACB' = 90°

(iii) |BC| = |B'C| berdasarkan definisi pencerminan

∴ ∆ABC ≅ ∆AB'C, dari kekongruenannya diperoleh |A'B'| = |AB|

C. Untuk A sepihak dengan B

Misal M_s(A) = A' dan M_s(B) = B', segmen AA' memotong s di D dan BB' memotong s di C. Perpanjang segmen AB, memotong s di E.

Perhatikan segitiga BCE dan B'CE

(i) |CE| = |CE| karena berhimpit

(ii) ∠BCE = ∠B'CE = 90°

(iii) |BC| = |B'C| berdasarkan definisi pencerminan

∴ ∆BCE ≅ ∆B'CE, dari kekongruenannya diperoleh |BE| = |B'E|

Perhatikan segitiga ADE dan A'DE

(i) |DE| = |DE| karena berhimpit

(ii) ∠ADE = ∠A'DE = 90°

(iii) |AD| = |A'D| berdasarkan definisi pencerminan

∴ ∆ADE ≅ ∆A'DE, dari kekongruenannya diperoleh |AE| = |A'E|

Perhatikan segmen BE dan B'E

|A'B'| = |B'E| − |A'E| = |BE| − |AE| = |AB|

∴ |A'B'| = |AB|

D. Untuk A berlawanan pihak dengan B

Misal M_s(A) = A' dan M_s(B) = B', segmen AA' memotong s di D dan BB' memotong s di C. Hubungkan A dengan B dan A' dengan B', memotong s di E.

Perhatikan segitiga BCE dan B'CE

(i) |CE| = |CE| karena berhimpit

(ii) ∠BCE = ∠B'CE = 90°

(iii) |BC| = |B'C| berdasarkan definisi pencerminan

∴ ∆BCE ≅ ∆B'CE, dari kekongruenannya diperoleh |BE| = |B'E|

Perhatikan segitiga ADE dan A'DE

(i) |DE| = |DE| karena berhimpit

(ii) ∠ADE = ∠A'DE = 90°

(iii) |AD| = |A'D| berdasarkan definisi pencerminan

∴ ∆ADE ≅ ∆A'DE, dari kekongruenannya diperoleh |AE| = |A'E|

Perhatikan segmen AB dan A'B'

|A'B'| = |A'E| + |B'E| = |AE| + |BE| = |AB|

∴ |A'B'| = |AB|

Untuk setiap kemungkinan, telah ditunjukkan bahwa pencerminan mempertahankan jarak. Dengan kata lain, pencerminan merupakan isometri.

4. Involusi

Pencerminan merupakan involusi.

• Untuk A terletak di s, jelas bahwa A' = M_s(A) = A, sehingga M_sM_s(A) = M_s(A') = M_s(A) = A.

• Untuk A di luar s, A' = M_s(A), berdasarkan definisi, s merupakan sumbu dari segmen AA', berarti s tegak lurus dengan AA' dan membagi AA' menjadi dua bagian sama panjang, sehingga jarak A ke s sama dengan jarak A' ke s.

Dikarenakan melalui sebuah titik dapat dibuat tepat satu garis yang tegak lurus, misal dibuat garis tegak lurus s melalui A', satu-satunya titik yang berjarak sama ke s pada garis itu hanyalah A. Ini berarti hasil pencerminan A' terhadap s adalah A. Oleh karena itu, M_sM_s(A) = M_s(A') = A.

Jadi, pencerminan merupakan involusi.

5. Invarian

Titik-titik tetap dari M_s adalah titik-titik yang terletak di s. Sedangkan garis-garis tetap dari M_s adalah garis s itu sendiri dan garis-garis yang tegak lurus dengan s.

• Berdasarkan definisi pencerminan, untuk titik A yang terletak di s, M_s(A) = A, sedangkan titik B di luar s, M_s(A) = B' yang juga di luar s dan berlawanan pihak. Jadi, titik yang terletak di s merupakan titik tetap, dan agar menjadi titik tetap diharuskan terletak di s.

• Dikarenakan semua titik yang terletak di s merupakan titik tetap, ketika garis s dicerminkan terhadap garis s itu sendiri, titik-titiknya menetap, sehingga garis s pun menetap. Jadi, garis s merupakan garis tetap.

• Misal garis t tegak lurus dengan s, misal titik P terletak di t. M_s(P) = P' dengan PP' tegak lurus dengan s. Dikarenakan melalui sebuah titik dapat dibuat tepat satu garis tegak lurus, dan t tegak lurus s, dapat dipastikan P' juga terletak di t. Pencerminan titik-titik yang terletak di t terhadap s, menghasilkan titik-titik yang juga terletak di t. Oleh karena itu, hasil pencerminan t terhadap s adalah t. Jadi, t merupakan garis tetap.

6. Komposisi Dua Pencerminan terhadap Garis yang Tegak Lurus

Jika s ⊥ t dan keduanya berpotongan di P, maka M_tM_s = H_P.

• Misal M_s(A) = A', dan M_tM_s(A) = M_t(A') = A''. Misal AA' memotong s di Q, dan A'A'' memotong t di R.

• Perhatikan segitiga APQ dan A'PQ

(i) |PQ| = |PQ| karena berhimpit

(ii) ∠AQP = ∠A'QP = 90°

(iii) |AQ| = |A'Q| berdasarkan definisi pencerminan

∴ ∆APQ ≅ ∆A'PQ, dari kekongruenannya diperoleh |AP| = |A'P| dan ∠APQ = ∠A'PQ

• Perhatikan segitiga A'PR dan A''PR

(i) |PR| = |PR| karena berhimpit

(ii) ∠A'RP = ∠A''RP = 90°

(iii) |A'R| = |A''R| berdasarkan definisi pencerminan

∴ ∆A'PR ≅ ∆A''PR, dari kekongruenannya diperoleh |A'P| = |A''P| dan ∠A'PR = ∠A''PR

• Dikarenakan |AP| = |A'P| dan |A'P| = |A''P|, dipastikan |AP| = |A''P|

• ∠APA'' = ∠APQ + ∠A'PQ + ∠A'PR + ∠A''PR

Dikarenakan ∠APQ = ∠A'PQ dan ∠A'PR = ∠A''PR, kita dapat mensubstitusikan:

∠APA'' = ∠A'PQ + ∠A'PQ + ∠A'PR + ∠A'PR = 2(∠A'PQ + ∠A'PR) = 2.90° = 180°

Oleh karena itu APA'' kolinear.

• Dikarenakan |AP| = |A''P| dan APA'' kolinear, P merupakan titik tengah segmen AA''. Dengan kata lain, A'' merupakan hasil setengah putaran titik A terhadap P.

Boleh juga ditulis M_tM_s(A) = H_P(A).

7. Komposisi Dua Pencerminan terhadap Garis yang Sejajar

Jika a sejajar b, maka M_bM_a = S_CD dengan ‖CD‖ sama dengan 2 kali jarak a dan b; dan CD ⊥ a.

Misal garis a dan b sejajar, M_a(P) = P', M_bM_a(P) = M_b(P') = P''.

Misal PP' memotong a di Q dan P'P'' memotong b di R.

Berdasarkan definisi pencerminan, |PQ| = |P'Q| dan |P'R| = |P''R|, PP' tegak lurus dengan a, dan P'P'' tegak lurus dengan b.

Misal segmen PP' diperpanjang menjadi garis, garis PP' merupakan garis tetap karena tegak lurus dengan a dan tegak lurus dengan b, sehingga titik P, P', dan P'' kolinear.

Jarak dari garis a dan b adalah panjang segmen QR.

Jarak dari P ke P'' adalah |PQ| + |P'Q| + |P'R| + |P''R|, karena |PQ| = |P'Q| dan |P'R| = |P''R|, substitusikan

|PP''| = |P'Q| + |P'Q| + |P'R| + |P'R| = 2(|P'Q| + |P'R|) = 2|QR| = dua kali jarak garis a dan b.

Oleh karena itu M_bM_a menggeser P dengan vektor CD yang panjangnya dua kali jarak garis a dan b.

Selain itu, CD juga tegak lurus dengan a dan b. ∎

Korolari (akibat langsung) dari teorema ini adalah:

Suatu geseran S_AB selalu dapat dianggap sebagai hasil komposisi dua pencerminan M_sM_t; dengan s sejajar t, dan s tegak lurus AB; sedangkan jarak s dan t adalah ½‖AB‖.

8. Kekongruenan

Misal suatu segitiga ABC dicerminkan terhadap garis s, segitiga hasil pencerminan kongruen dengan segitiga ABC.

Misal M_s(A) = A', M_s(B) = B', M_s(C) = C'. Karena pencerminan merupakan isometri, |A'B'| = |AB|, |A'C'| = |AC|, |B'C'| = BC, sehingga segitiga A'B'C' kongruen dengan ABC.

Korolari: Dikarenakan segitiga hasil pencerminan kongruen dengan segitiga semula, kita mendapati bahwa pencerminan mempertahankan besar sudut.

9. Garis Sejajar dengan Acuan

Misal garis s sejajar dengan t, hasil pencerminan t terhadap s juga sejajar.

Misal M_s(t) = t'.

Garis s sejajar dengan t, berarti jaraknya taknol. Dikarenakan pencerminan merupakan isometri, jarak t' ke s sama dengan jarak t ke s, sehingga jaraknya juga taknol. Ini berarti t' juga sejajar dengan s dan t.

10. Kesejajaran

Pencerminan mempertahankan kesejajaran.

Misal garis k sejajar dengan l, dan s adalah sebarang garis, M_s(k) = k', M_s(l) = l'.

(i) Untuk garis s yang tegak lurus dengan k, jelas bahwa M_s(k) // M_s(l), karena keduanya garis tetap.

(ii) Untuk garis s yang sejajar dengan k, k' sejajar dengan s, dan s sejajar dengan l', sehingga k' sejajar dengan l'.

(iii) Untuk garis s yang tidak sejajar dan tidak tegak lurus dengan k. Dikarenakan pencerminan mempertahankan besar sudut, sudut antara k' dan s sama dengan sudut antara k dan s, dengan arah yang berlawanan. Begitu juga sudut antara l' dan s sama dengan sudut antara l dan s, dengan arah yang berlawanan. Dikarenakan k dan l sejajar, keduanya bersudut sama terhadap garis s. Dan k' dan l' keduanya bersudut sama terhadap garis s, sehingga keduanya sejajar.

Jadi, pencerminan mempertahankan kesejajaran.