Rumus Refleksi (Pencerminan)

1. Pencerminan Terhadap Sebarang Garis s: ax + by + c = 0

Misal koordinat titik P(x, y) dan persamaan garis s: ax + by + c = 0. Titik P dicerminkan terhadap garis s, bayangannya adalah P'(x', y').

Garis s merupakan sumbu dari PP', sehingga PP' ⊥ s dan s melalui titik tengah segmen PP'.

PP' ⊥ s, berlaku

b(x' − x) = a(y' − y)

bx' − ay' = bx − ay (i)

Titik tengah segmen PP' terletak di s, dipenuhi:

a.½(x + x') + b.½(y + y') + c = 0, kalikan 2

a(x + x') + b(y + y') + 2c = 0

ax + ax' + by + by' + 2c = 0

ax' + by' = −ax − by − 2c (ii)

Eliminasi (i) dan (ii)

bx' − ay' = bx − ay (i)

ax' + by' = −ax − by − 2c (ii)

b(i) + a(ii) → (a² + b²)x' = (b² − a²)x − 2aby − 2ac

(a² + b²)x' = (b² − a²)x + 2a²x − 2a²x − 2aby − 2ac

(a² + b²)x' = (b² + a²)x − 2a²x − 2aby − 2ac

(a² + b²)x' = (b² + a²)x − 2a(ax + by + c), bagi masing-masing ruas dengan a² + b² menjadi

b(ii) − a(i) → (a² + b²)y' = −2abx + (a² − b²)y − 2bc

(a² + b²)y' = −2abx + (a² − b²)y + 2b²y − 2b²y − 2bc

(a² + b²)y' = −2abx + (a² + b²)y − 2b²y − 2bc

(a² + b²)y' = (a² + b²)y − 2b(ax + by + c), bagi masing-masing ruas dengan a² + b² menjadi

Jadi, rumus pencerminan titik P(x, y) terhadap garis s: ax + by + c = 0 adalah:

Contoh Soal

1. Diketahui garis g: 2x – y = 3, h: x + y = 6 dan titik A(6, 4). Tentukan M_g(A) dan M_g^-1(h).

g: 2x – y – 3 = 0; a = 2, b = –1, c = –3, a² + b² = 2² + (–1)² = 5

M_g: x' = x – 2.2.⅕(2x – y – 3) = x – (8/5)x + ⅘y + 12/5 = –⅗x + ⅘y + 12/5

y' = y – 2.(–1).⅕(2x – y – 3) = y + ⅘x – ⅖y – 6/5 = ⅘x + ⅗y – 6/5

M_g(A): x' = –⅗.6 + ⅘.4 + 12/5 = 10/5 = 2; y' = ⅘.6 + ⅗.4 – 6/5 = 30/5 = 6

M_g(A) = A'(2, 6)
M_g^-1(h) = h': x' + y' – 6 = 0

h': –⅗x + ⅘y + 12/5 + ⅘x + ⅗y – 6/5 – 6 = 0

h': ⅕x + (7/5)y – 24/5 = 0

h: x + 7y – 24 = 0

2. Diberikan s: 2x – y + 2 = 0, N(2, 1), N'(–8, –9). Tentukan persamaan garis t sehingga dipenuhi M_tM_s(N) = N' = H_P(N).

N' = H_P(N), berarti P merupakan titik tengah NN', P(½(2 – 8), ½(1 – 9)) = P(–3, –4)

Cek apakah P terletak di s, 2x – y + 2 = 2(–3) – (–4) + 2 = 0. P terletak di s.

Agar komposisinya menghasilkan setengah putaran, diharuskan t ⊥ s. Gradien garis s adalah 2, sehingga gradien garis t adalah –½.

P merupakan titik potong s dan t, sehingga t melalui P.

t: y + 4 = –½(x + 3)

t: 2y + 8 = –x – 3

t: x + 2y + 11 = 0

2. Pencerminan Terhadap Garis yang Melalui O(0, 0)

Misal suatu garis g melalui O dan sudut antara g dengan sumbu x positif adalah α. Kita dapat menuliskan persamaan garis g: y = x.tan(α)

Misalkan sudut antara OP dan sumbu x positif adalah β.

Misal koordinat titik P(x, y) dicerminkan terhadap g, dan bayangannya adalah P'(x', y').

Karena pencerminan mempertahankan besar sudut, sudut antara OP' dan sumbu x positif adalah 2α − β.

x' = OP'.cos(2α − β) = OP'.[cos(2α).cos(β) + sin(2α).sin(β)] = OP'.cos(2α).cos(β) + OP'.sin(2α).sin(β)

Karena pencerminan merupakan isometri, OP' = OP

x' = OP.cos(β).cos(2α) + OP.sin(β).sin(2α) = x.cos(2α) + y.sin(2α)

y' = OP'.sin(2α − β) = OP'.[sin(2α).cos(β) − cos(2α).sin(β)] = OP'.sin(2α).cos(β) − OP'.cos(2α).sin(β) = OP.cos(β).sin(2α) − OP.sin(β).cos(2α) = x.sin(2α) − y.cos(2α)

Jadi, rumus pencerminan titik P(x, y) terhadap garis g: y = x.tan(α) adalah:

x' = x.cos(2α) + y.sin(2α);    y' = x.sin(2α) − y.cos(2α)

Dalam bentuk matriks:

Contoh soal:

Misal persamaan garis s: y = 2x dan t: x − 2y − 4 = 0, tentukan M_s(t)

s: y = 2x, tan(α) = 2

sehingga pencerminan terhadap garis s adalah:

M_s: x' = –⅗x + ⅘y; y' = ⅘x + ⅗y

Karena pencerminan merupakan involusi, M_s^-1 = M_s, sehingga

M_s^-1: x = –⅗x' + ⅘y'; y = ⅘x' + ⅗y'

t: x − 2y − 4 = 0

t: –⅗x' + ⅘y' − 2(⅘x' + ⅗y') − 4 = 0

t: (−11/5)x' − (2/5)y' − 4 = 0

t: 11x' + 2y' + 20 = 0

M_s(t) = t': 11x + 2y + 20 = 0

3. Pencerminan Terhadap Garis y = mx + n

Ingat kembali geseran sumbu, terapkan y = mx + n terhadap y = mx, akan diperoleh rumus pencerminan terhadap garis y = mx + n, yaitu:

4. Pencerminan Terhadap Sumbu X dan Garis-Garis yang Sejajar dengannya

Misal diberikan garis s: y = b dan titik P(x, y). Garis s sejajar dengan sumbu x.

Misal titik P dicerminkan terhadap s, bayangannya adalah P'(x', y'). Dikarenakan s sejajar sumbu x, dan PP' tegak lurus dengan s, tentunya PP' sejajar sumbu y, sehingga P dan P' terletak di absis yang sama, yang dituliskan x' = x.

Segmen PP' memotong garis s: y = b di titik Q(x, b). Titik Q merupakan titik tengah dari segmen PP', sehingga berlaku y' = 2b – y. Sehingga rumus pencerminan titik P(x, y) terhadap garis y = b adalah:

M_s(P): (x', y') = (x, 2b – y)

Kasus khusus untuk sumbu x, dimana y = 0, rumus pencerminan terhadap sumbu x adalah:

M_x(P): (x', y') = (x, – y)

5. Pencerminan Terhadap Sumbu Y dan Garis-Garis yang Sejajar dengannya

Ingat kembali rumus pencerminan terhadap garis yang sejajar sumbu x. Secara analog, kita dapat menentukan rumus pencerminan terhadap garis yang sejajar dengan sumbu y.

Misal diberikan garis s: x = a dan titik P(x, y). Rumus pencerminan P terhadap s adalah:

M_s(P): (x', y') = (2a – x, y)

Kasus khusus untuk sumbu y, dimana x = 0, rumus pencerminan terhadap sumbu y adalah:

M_y(P): (x', y') = (–x, y)

6. Pencerminan Terhadap Garis y = x

Ingat kembali rumus pencerminan terhadap garis yang melalui O(0, 0), dimana persamaannya adalah g: y = x.tan(α), bayangan hasil pencerminan titik P(x, y) terhadap garis g adalah:

x' = x.cos(2α) + y.sin(2α);    y' = x.sin(2α) − y.cos(2α)

Untuk garis y = x, nilai tan(α) adalah 1. Besar sudut α adalah 45°, sehingga 2α = 90°

x' = x.cos(90°) + y.sin(90°) = x.0 + y.1 = y

y' = x.sin(90°) − y.cos(90°) = x.1 − y.0 = x

Jadi, hasil pencerminan titik P(x, y) terhadap garis g: y = x adalah

M_g(P): (x', y') = (y, x)

7. Pencerminan Terhadap Garis y = −x

Ingat kembali rumus pencerminan terhadap garis y = x. Secara analog, kita dapat menentukan rumus pencerminan terhadap garis y = −x.

Hasil pencerminan titik P(x, y) terhadap garis g: y = −x adalah

M_g(P): (x', y') = (−y, −x)

8. Mengkonstruksi Sudut Pantulan dengan Refleksi

Perhatikan gambar berikut:

Misal garis g melalui M dan N, titik A dan B diluar garis g dan keduanya sepihak. Tentukan titik P di garis g sehingga ∠APM = ∠BPN

A. Refleksikan titik A terhadap garis g, bayangannya adalah A'

B. Hubungkan A' dengan B, memotong garis g di P

Besar ∠APM dan ∠BPN sama.