Sudut dan Kedudukan Garis dan Bidang (GAR)

1. Sudut Antara Dua Garis

Misal terdapat dua garis, yaitu ℓ₁ dengan sudut arahnya 𝛼₁, 𝛽₁, 𝛾₁ dan ℓ₂ dengan sudut arahnya 𝛼₂, 𝛽₂, 𝛾₂. Sudut antara keduanya, yaitu θ, dapat ditentukan sebagai berikut:

Misal ℓ₁ dengan vektornya a = (a₁, b₁, c₁) dan ℓ₂ dengan vektornya b = (a₂, b₂, c₂), sudut antara kedua vektor adalah:

𝑎 ∙ 𝑏 = ‖𝑎‖ ‖𝑏‖ cos⁡𝜃

Dapat juga dituliskan cos⁡(𝜃) = cos(𝛼₁)cos(𝛼₂) + cos(𝛽₁)cos(𝛽₂) + cos(𝛾₁)cos(𝛾₂)

(i) Kedua garis tegak lurus ketika 𝜃 = 90° sehingga cos⁡𝜃 = 0, tentunya hal ini terjadi ketika pembilangnya nol, dapat ditulis a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0.

(ii) Dua garis lurus adalah sejajar atau berimpit, jika mereka membuat sudut-sudut yang sama dengan sumbu-sumbu koordinat dan sebaliknya.

Jadi syarat untuk sejajar ialah: 𝛼₁ = 𝛼₂; 𝛽₁ = 𝛽₂; 𝛾₁ = 𝛾₂ 

Jadi, cos(𝛼₁) = cos(𝛼₂); cos(𝛽₁) = cos(𝛽₂); cos(𝛾₁) = cos(𝛾₂)

Jika arah garis lurus-garis lurus itu ditentukan oleh bilangan-bilangan arah a₁, b₁, c₁ dan a₂, b₂, c₂ maka syarat untuk sejajar adalah a₁/a₂ + b₁/b₂ + c₁/c₂ = k.

contoh:

1. Tentukan persamaan garis g melaui P(1, 1, 1) dan sejajar dengan garis k: x + 2y + 3z + 4 = 0 = 2x + 3y + 4z + 5.

Garis k merupakan perpotongan dari dua bidang dengan persamaannya adalah:

x + 2y + 3z = −4 (i)

2x + 3y + 4z = −5 (ii)

Himpunan solusi dari kedua persamaan adalah persamaan garis k dalam bentuk parameter:

x = 2 + t, y = −3 − 2t, z = t

(x, y, z) = (2, −3, 0) + t(1, −2, 1)

bilangan arah dari garis k adalah (1, −2, 1)

Karena g sejajar k, memiliki bilangan arah yang sama (atau sebanding), dan karena g melalui P:

g: (x, y, z) = (1, 1, 1) + t(1, −2, 1)

x = 1 + t, y = 1 − 2t, z = 1 + t.

2. Tentukan persamaan garis h melalui P(1, 1, 1) dan tegak lurus garis k:

Garis k melalui (1, −1, 0) dan bilangan arahnya (2, 1, 3)

Misal bilangan arah garis h adalah (a, b, c), dan dikarenakan h tegak lurus k, berlaku:

2a + b + 3c = 0

b = −2a − 3c

sehingga bilangan arah garis h adalah (a, −2a − 3c, c)

Persamaan garis h adalah h: (x, y, z) = (1, 1, 1) + t(a, −2a − 3c, c), untuk setiap a dan c.

3. Tentukan persamaan garis g melaui P(1, 1, 1) dan memotong tegak lurus k: x + 2y + 3z + 4 = 0 = 2x + 3y + 4z + 5.

Garis k merupakan perpotongan dari dua bidang dengan persamaannya adalah:

x + 2y + 3z = −4 (i)

2x + 3y + 4z = −5 (ii)

Himpunan solusi dari kedua persamaan adalah persamaan garis k dalam bentuk parameter:

x = 2 + t, y = −3 − 2t, z = t

(x, y, z) = (2, −3, 0) + t(1, −2, 1)

bilangan arah dari garis k adalah (1, −2, 1).

g berpotongan dengan k, misal titik potongnya Q(x₁, y₁, z₁), dipenuhi:

x₁ + 2y₁ + 3z₁ = −4 (iii)

2x₁ + 3y₁ + 4z₁ = −5 (iv)

garis g melalui P dan Q, sehingga berlaku:

g: (x, y, z) = (1, 1, 1) + t(x₁ − 1, y₁ − 1, z₁ − 1)

Bilangan arah garis g adalah (x₁ − 1, y₁ − 1, z₁ − 1)

g tegak lurus k sehingga berlaku:

(1, −2, 1) ∙ (x₁ − 1, y₁ − 1, z₁ − 1) = 0

x₁ − 1 − 2y₁ + 2 + z₁ − 1 = 0

x₁ − 2y₁ + z₁ = 0 (v)

Perhatikan (iii), (iv),  dan (v), ketiganya membentuk SPL tiga variabel.

x₁ + 2y₁ + 3z₁ = −4 (iii)

2x₁ + 3y₁ + 4z₁ = −5 (iv)

x₁ − 2y₁ + z₁ = 0 (v)

Lakukan OBE, akan diperoleh solusinya x₁ = 2/3, y₁ = −1/3, z₁ = −4/3

Ingat kembali bahwa bilangan arahnya (x₁ − 1, y₁ − 1, z₁ − 1) = (−1/3, −4/3, −7/3)

Persamaan garis g adalah g: (x, y, z) = (1, 1, 1) + t(−1/3, −4/3, −7/3), boleh juga dinyatakan

g: (x, y, z) = (1, 1, 1) + t(1, 4, 7)

2. Sudut dan Kedudukan Garis dan Bidang

Misal diberikan bidang V dan garis l, terdapat tiga kemungkinan:

a) l memotong V

b) l sejajar V

c) l terletak pada V

Misal persamaan bidang V: Ax + By + Cz + D = 0, dan persamaan garis l: (x, y, z) = (x₁, y₁, z₁) + t(a, b, c).

Perlu diketahui bahwa bilangan arah bidang sama dengan bilangan arah normalnya. Misal sudut antara garis l dengan normal bidang V adalah 𝜃', berlaku:

Dikarenakan normal bidang tegak lurus dengan bidang, tentunya sudut antara garis dengan normal bidang berkomplemen dengan sudut antara garis dengan bidang, boleh dituliskan 𝜃' = 90° − 𝜃.

Ingat kembali sudut-sudut yang berelasi, diantaranya terdapat hubungan cos(90° − 𝜃) = sin(𝜃). Misal sudut antara garis l dengan bidang V adalah 𝜃, kita dapat menentukan sinusnya:

Berikut beberapa hubungan istimewa garis dengan bidang:

(i) Garis l sejajar bidang V

Agar garis l sejajar bidang V, diharuskan sin(𝜃) = 0, yaitu ketika Aa + Bb + Cc = 0. Pada kasus dimana garis l terletak pada bidang V, juga dipenuhi Aa + Bb + Cc = 0. Cara untuk mengenalinya, pilih satu titik yang terletak di garis l, jika juga terletak di V, maka l terletak pada V, sedangkan jika tidak terletak di V, maka l sejajar V.

(ii) Garis l tegak lurus bidang V

Agar garis l tegak lurus bidang V, diharuskan sin(𝜃) = 1, yaitu ketika bilangan arahnya sebanding. Perbandingannya A/a = B/b = C/c.

contoh:

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui P(1, 0, −1), terletak pada bidang V: x + 3y + z = 0, serta tegak lurus garis g: x + 2y − z − 3 = 0 ∧ 2x + z − 1 = 0.

Garis g merupakan perpotongan dari dua bidang:

x + 2y − z = 3 (i)

2x + z = 1 (ii)

Persamaan parameter garis g: x = t, y = (4 − 3t)/2, z = 1 − 2t

g: (x, y, z) = (0, 2, 1) + t(1, −3/2, −2)

g: (x, y, z) = (0, 2, 1) + t(−2, 3, 4)

Misal bilangan arah garis h adalah (a, b, c), dan garis h tegak lurus g, berlaku −2a + 3b + 4c = 0 (iii)

garis h terletak pada bidang V, berlaku a + 3b + c = 0 (iv)

(iv) − (iii) → 3a − 3c = 0, a = c (v)

Masukkan (v) ke (iv)

a + 3b + a = 0

2a + 3b = 0

b = −2a/3

Bilangan arah garis h adalah (a, −2a/3, a), misal dipilih a = 3 menjadi (3, −2, 3).

h melalui P(1, 0, −1), sehingga persamaanya adalah h: (x, y, z) = (1, 0, −1) + t(3, −2, 3)

3. Titik Potong Garis dan Bidang

Misal persamaan bidang V: Ax + By + Cz + D = 0, dan persamaan garis l: (x, y, z) = (x₁, y₁, z₁) + t(a, b, c).

Masukkan persamaan parametrik garis ke persamaan bidang:

Ax + By + Cz + D = 0

A(x₁ + at) + B(y₁ + bt) + C(z₁ + ct) + D = 0

Ax₁ + Aat + By₁ + Bbt + Cz₁ + Cct + D = 0

Aat + Bbt + Cct = −Ax₁ −By₁ − Cz₁ − D

(Aa + Bb + Cc)t = −Ax₁ −By₁ − Cz₁ − D

Masukkan t ke persamaan parameter, diperoleh titik potong garis l dengan bidang V.

contoh:

Diberikan persamaan bidang W: 2x + 3y − z + 6 = 0 dan garis l: (x, y, z) = (1, −1, 3) + t(2, 1, 1), tentukan persamaan garis g melalui titik potong W dan l sejajar h: 2x − y + z + 4 = 0; 2x + 3y + 4z + 7 = 0

(i) Titik potong bidang W dan garis l

W: 2x + 3y − z + 6 = 0; A = 2, B = 3, C = −1, D = 6

l: (x, y, z) = (1, −1, 3) + t(2, 1, 1); a = 2, b = 1, c = 1

Pembilang t = −(2.1 + 3.(−1) + (−1).3 + 6) = −2

Penyebut t = 2.2 + 3.1 + (−1).1 = 6

t = −2/6 = −1/3

Titik potong (1, −1, 3) + (−1/3)(2, 1, 1) = P(1/3, −4/3, 8/3)

(ii) Persamaan garis h

2x − y + z + 4 = 0

2x + 3y + 4z + 7 = 0

Himpunan solusi h: x = (−19 − 7t)/8 , y = (−3 − 3t)/4 , z = t

h: (x, y, z) = (−19/8, −3/4, 0) + t(−7/8, −3/4, 1), boleh juga ditulis:

h: (x, y, z) = (2, 3, −5) + t(7, 6, −8)

(iii) g sejajar h sehingga bilangan arahnya sama

g melalui P sehingga persamaannya adalah g: (1/3, −4/3, 8/3) + t(7, 6, −8)

4. Jarak Garis ke Bidang

(a) Untuk garis memotong bidang atau garis terletak pada bidang, jarak garis ke bidang adalah 0.

(b) Untuk garis sejajar bidang, untuk menentukan jaraknya, pilih satu titik yang terletak pada garis, lalu tentukan jarak titik ke bidang.

contoh:

Tentukan jarak garis k:(x, y, z) = (−2, 1, 0) + t(−2, 1, −1) dengan bidang V: x + 3y + z = 0

Bilangan arah garis k adalah (−2, 1, −1) dan bilangan arah bidang V adalah (1, 3, 1)

Perkalian titik bilangan arahnya adalah −2.1 + 1.3 + (−1).1 = 0, ini berarti garis k sejajar bidang V.

Untuk menentukan jaraknya, pilih satu titik di garis k, misalnya (−2, 1, 0), tentukan jaraknya ke bidang:

Jadi, jarak garis k ke bidang V adalah 0,3015 satuan.

5. Persamaan Garis yang Memotong Dua Garis Lain

Ingat kembali tentang berkas bidang.

Misal dua garis lurus ditentukan dengan

ℓ₁: V₁ = 0, V₂ = 0

ℓ₂: V₃ = 0, V₄ = 0

Persamaan garis g yang memotong ℓ₁ dan ℓ₂ adalah

g: V₁ + λV₂ = 0, V₃ + μV₄ = 0

Kasus khusus: Jika ditemukan nilai λ dan μ sehingga g tegak lurus dengan kedua garis, maka g disebut sebagai tegak lurus persekutuan.

contoh soal:

1. Tentukan persamaan garis yang melalui P(1, 2, 1) dan memotong garis g: x + y − 2 = 0, y + 2z = 0 dan k: x + 2z − 4 = 0, 2x + z + 8 = 0.

Persamaan garis potongnya adalah h: x + y − 2 + λ(y + 2z) = 0, x + 2z − 4 + μ(2x + z + 8) = 0

h: x + (1 + λ)y + 2λz − 2 = 0, (1 + 2μ)x + (2 + μ)z − 4 + 8μ = 0

Karena melalui P(1, 2, 1), masukkan ke persamaan garis h

1 + (1 + λ)2 + 2λ.1 − 2 = 0, (1 + 2μ).1 + (2 + μ).1 − 4 + 8μ = 0

1 + 2 + 2λ + 2λ − 2 = 0, 1 + 2μ + 2 + μ − 4 + 8μ = 0

1 + 4λ = 0, −1 + 11μ = 0

λ = −¼, μ = 1/11

Masukkan nilai λ dan μ ke persamaan garis h

h: x + y − 2 − ¼(y + 2z) = 0, x + 2z − 4 + (2x + z + 8)/11 = 0

h: 4x + 4y − 8 − (y + 2z) = 0, 11x + 22z − 44 + (2x + z + 8) = 0

h: 4x + 3y − 2z − 8 = 0, 13x + 23z − 36 = 0

2. Tentukan persamaan garis n yang memotong g dan k, serta sejajar x/14 = y/6 = (1 − z)/13

Persamaan garis potongnya adalah n: x + y − 2 + λ(y + 2z) = 0, x + 2z − 4 + μ(2x + z + 8) = 0

n: x + (1 + λ)y + 2λz − 2 = 0, (1 + 2μ)x + (2 + μ)z − 4 + 8μ = 0

bilangan arah garis x/14 = y/6 = (1 − z)/13 adalah (14, 6, −13)

Bilangan arah garis n adalah:

= (2 + μ + 2λ + λμ, 2λ + 4λμ − 2 − μ, −1 − λ − 2μ − 2λμ)

Karena sejajar, bilangan arahnya sebanding

(2 + μ + 2λ + λμ)/14 = (2λ + 4λμ − 2 − μ)/6 = (−1 − λ − 2μ − 2λμ)/(−13)

Perhatikan ruas kiri dan tengah

6(2 + μ + 2λ + λμ) = 14(2λ + 4λμ − 2 − μ)

3(2 + μ + 2λ + λμ) = 7(2λ + 4λμ − 2 − μ)

6 + 3μ + 6λ + 3λμ = 14λ + 28λμ − 14 − 7μ

−8λ + 10μ − 25λμ + 20 = 0 (i)

Perhatikan ruas tengah dan kanan

−13(2λ + 4λμ − 2 − μ) = 6(−1 − λ − 2μ − 2λμ)

−26λ − 52λμ + 26 + 13μ = −6 − 6λ − 12μ − 12λμ

−20λ + 25μ − 40λμ + 32 = 0 (ii)

5(i) − 2(ii) → −45λμ + 36 = 0 ↔ λμ = ⅘, masukkan ke (i)

−8λ + 10μ − 20 + 20 = 0

−8λ + 10μ = 0

μ = ⅘λ

Ingat kembali λμ = ⅘

λ.⅘λ = ⅘

λ² = 1

λ = ±1

Untuk λ = 1, μ = ⅘λ = ⅘:

Masukkan nilai λ dan μ ke bentuk kombinasi linear

n: x + y − 2 + 1.(y + 2z) = 0, x + 2z − 4 + ⅘(2x + z + 8) = 0

n: x + 2y + 2z − 2 = 0, 5x + 10z − 20 + 8x + 4z + 32 = 0

n: x + 2y + 2z − 2 = 0, 13x + 14z + 12 = 0

Untuk λ = −1, μ = ⅘λ = −⅘:

Masukkan nilai λ dan μ ke bentuk kombinasi linear

n: x + y − 2 − 1.(y + 2z) = 0, x + 2z − 4 − ⅘(2x + z + 8) = 0

n: x − 2z − 2 = 0, 5x + 10z − 20 − 8x − 4z − 32 = 0

n: x − 2z − 2 = 0, −3x − 6z − 52 = 0 (TM, karena kedua bidang sejajar)

Jadi, persamaan garis n adalah n: x + 2y + 2z − 2 = 0, 13x + 14z + 12 = 0.