Sudut dan Ortogonalitas di Ruang Hasil Kali Dalam

Pada artikel ini, kita akan mendefinisikan konsep sudut antara dua vektor dalam suatu ruang hasil kali dalam. Kemudian, kita akan menggunakan konsep ini untuk memperoleh beberapa hubungan dasar antara vektor-vektor dalam ruang hasil kali dalam, termasuk hubungan geometri fundamental antara ruang nol dan ruang kolom suatu matriks.

1. Ketaksamaan Cauchy-Schwarts

Jika u dan v adalah vektor-vektor di ruang hasil kali dalam, maka |〈u, v〉| ≤ ‖u‖‖v‖.

Perhatikan uraian berikut:

Untuk u = 0, maka 〈u, v〉 = 〈u, u〉 = 0, sehingga kedua sisi persamaan 4 sama.

Untuk u ≠ 0. Misalkan a = 〈u, u〉, b = 2〈u, v〉, dan c = 〈v, v〉, dan misalkan t adalah bilangan real sembarang. Berdasarkan aksioma positifitas, hasil kali dalam dari vektor apa pun dengan dirinya sendiri selalu non-negatif. Oleh karena itu,

0 ≤ 〈tu + v, tu + v〉 = at² + 2bt + c

Pertidaksamaan ini menyiratkan bahwa polinomial kuadrat at² + 2bt + c tidak memiliki akar real atau memiliki akar real kembar. Oleh karena itu, diskriminannya harus memenuhi pertidaksamaan b² − 4ac ≤ 0. Dengan menyatakan koefisien a, b, dan c dalam bentuk vektor u dan v, kita mendapatkan:

4〈u, v〉² − 4〈u, u〉〈v, v〉 ≤ 0, yang mana ekivalen dengan:

〈u, v〉² ≤ 〈u, u〉〈v, v〉

Dengan mengambil akar dari kedua sisi dan menggunakan fakta bahwa 〈u, u〉 dan 〈v, v〉 non-negatif, kita mendapatkan:

|〈u, v〉| ≤ √(〈u, u〉)√(〈v, v〉), yang ekivalen dengan |〈u, v〉| ≤ ‖u‖‖v‖.

Bentuk alternatif untuk ketaksamaan ini:

〈u, v〉² ≤ 〈u, u〉〈v, v〉

〈u, v〉² ≤ ‖u‖²‖v‖²

2. Sifat-Sifat Panjang

Jika u dan v adalah vektor-vektor di ruang hasil kali dalam, dan k sebarang skalar, maka

A. Panjang vektor tidak pernah negatif

‖u‖ ≥ 0

B. Kapan panjang vektor adalah nol

‖u‖ = 0 jika dan hanya jika u = 0 

C. Panjang vektor dari perkalian skalar

‖ku‖ = |k|‖u‖

D. Ketaksamaan segitiga

‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖

Perhatikan uraian berikut:

‖u + v‖² = 〈u + v, u + v〉

= 〈u, u〉 + 2〈u, v〉 + 〈v, v〉

≤ 〈u, u〉 + 2|〈u, v〉| + 〈v, v〉 

≤ 〈u, u〉 + 2‖u‖‖v‖ + 〈v, v〉

= ‖u‖² + 2‖u‖‖v‖ + ‖v‖²

= (‖u‖ + ‖v‖)²

Diperoleh komparasi:

‖u + v‖² ≤ (‖u‖ + ‖v‖)², akarkan kedua ruas

‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖

3. Sifat-Sifat Jarak

Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor di ruang hasil kali dalam, dan k sebarang skalar, maka

A. Jarak tidak pernah negatif

d(u, v) ≥ 0

B. Kapan jarak nol

d(u, v) = 0 jika dan hanya jika u = v 

C. Sifat komutatif jarak

d(u, v) = d(v, u)

D. Ketaksamaan segitiga

d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v)

Bayangkan sebuah segitiga, panjang suatu sisi dapat dipastikan lebih pendek dari jumlah kedua sisi lainnya. Hanya saja hubungan antar vektor bisa jadi bukan segitiga, sehingga tanda ketaksamaan yang digunakan adalah "≤".

4. Sudut Antara Dua Vektor

Ingat kembali ketaksamaan Cauchy-Schwarts: |〈u, v〉| ≤ ‖u‖‖v‖, buat ruas kanan menjadi 1:

Misalkan sudut antara dua vektor berkisar pada interval 0 ≤ θ ≤ π, nilai kosinus sudut akan berkisar antara −1 ≤ cos(θ) ≤ 1. Kita nyatakan:

θ melambangkan sudut antara u dan v.

5. Ortogonalitas

Masalah yang sangat penting dalam semua ruang hasil kali dalam adalah menentukan apakah dua vektor saling tegak lurus, yaitu apakah sudut antara keduanya adalah θ = π/2.

Berdasarkan rumus kosinus, dapat disimpulkan bahwa jika u dan v adalah vektor taknol dalam suatu ruang hasil kali dalam dan θ adalah sudut antara keduanya, maka cos(θ) = 0 jika dan hanya jika 〈u, v〉 = 0. Dengan kata lain, untuk vektor taknol kita memiliki θ = π/2 jika dan hanya jika 〈u, v〉 = 0. Jika kita sepakat untuk menganggap sudut antara u dan v adalah π/2 ketika salah satu atau kedua vektor tersebut adalah 0, maka kita dapat menyatakan tanpa terkecuali bahwa sudut antara u dan v adalah π/2 jika dan hanya jika 〈u, v〉 = 0. Hal ini mengarah pada definisi berikut:

Dua vektor u dan v di ruang hasil kali dalam dikatakan ortogonal jika 〈u, v〉 = 0.

6. Teorema Pythagoras yang Diperumum

Jika u dan v ortogonal, maka ‖u + v‖² = ‖u‖² + ‖v‖².

Hal ini dikarenakan secara umum ‖u + v‖² = 〈u + v, u + v〉 = 〈u, u〉 + 2〈u, v〉 + 〈v, v〉. Dikarenakan 〈u, v〉 = 0, hal ini berakibat ‖u + v‖² = ‖u‖² + ‖v‖².

7. Komplemen Ortogonal

Jika V adalah suatu bidang yang melalui titik asal dalam R³ dengan hasil kali dalam Euklidean, maka himpunan semua vektor yang ortogonal terhadap setiap vektor di V membentuk garis L yang melalui titik asal dan tegak lurus terhadap V.

Dalam bahasa aljabar linear, kita mengatakan bahwa garis dan bidang tersebut adalah komplemen ortogonal satu sama lain. Definisi berikut memperluas konsep ini ke ruang hasil kali dalam secara umum:

Misalkan W adalah suatu subruang dari ruang hasil kali dalam V. Sebuah vektor u dalam V dikatakan ortogonal terhadap W jika u ortogonal terhadap setiap vektor di W, dan himpunan semua vektor di V yang ortogonal terhadap W disebut komplemen ortogonal dari W.

Ingat dari geometri bahwa simbol ⊥ digunakan untuk menunjukkan ortogonalitas. Dalam aljabar linear, komplemen ortogonal dari suatu subruang W dilambangkan dengan W^⊥ (dibaca "W tegak lurus").

Bayangkan sebuah ruang vektor sebagai sebuah ruangan besar. Subruang adalah seperti sebuah ruangan yang lebih kecil di dalam ruangan besar itu. Jika kita memiliki sebuah vektor yang tegak lurus terhadap setiap vektor di subruang tersebut, maka vektor itu dikatakan ortogonal terhadap subruang.

Himpunan dari semua vektor yang ortogonal terhadap suatu subruang disebut komplemen ortogonal. Jadi, jika kita memiliki sebuah subruang, kita bisa menemukan semua vektor yang "tegak lurus" terhadap subruang tersebut. Himpunan semua vektor ini adalah komplemen ortogonalnya.

8. Sifat-Sifat Komplemen Ortogonal

Jika W adalah suatu subruang dari ruang hasil kali dalam berdimensi hingga V, maka:

(a) W^⊥ (dibaca "W tegak lurus") juga merupakan suatu subruang dari V.

Ini berarti bahwa himpunan semua vektor yang tegak lurus terhadap semua vektor di W juga membentuk sebuah ruang vektor. Artinya, jika kita mengambil dua vektor dari W^⊥ dan menggabungkannya (menjumlahkan atau mengalikan dengan skalar), hasil gabungannya juga akan tegak lurus terhadap semua vektor di W, sehingga tetap berada di W^⊥.

(b) Satu-satunya vektor yang sama-sama terdapat di W dan W^⊥ adalah vektor nol.

Ini berarti bahwa tidak ada vektor taknol yang bisa sekaligus tegak lurus terhadap dirinya sendiri. Vektor nol adalah satu-satunya vektor yang tegak lurus terhadap semua vektor, termasuk dirinya sendiri.

(c) Komplemen ortogonal dari W^⊥ adalah W itu sendiri, yaitu (W^⊥)^⊥ = W.

Ini berarti jika kita mencari semua vektor yang tegak lurus terhadap semua vektor di W^⊥, kita akan kembali ke subruang W semula. Ini seperti mengambil komplemen dari komplemen, sehingga kita kembali ke himpunan awal.

Bayangkan sebuah bidang (subruang) dalam ruang tiga dimensi. Komplemen ortogonal dari bidang ini adalah garis yang tegak lurus terhadap bidang tersebut. Jika kita mengambil semua vektor yang tegak lurus terhadap garis ini, kita akan kembali ke bidang semula.

Perhatikan uraian berikut:

Pertama-tama perhatikan bahwa 〈0, w〉 = 0 untuk setiap vektor w di W, sehingga W^⊥ setidaknya mengandung vektor nol. Kita ingin menunjukkan bahwa W^⊥ tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar; artinya, kita ingin menunjukkan bahwa jumlah dari dua vektor di W^⊥ adalah ortogonal terhadap setiap vektor di W dan bahwa setiap kelipatan skalar dari suatu vektor di W^⊥ adalah ortogonal terhadap setiap vektor di W. Misalkan u dan v adalah vektor sembarang di W^⊥, misalkan k adalah skalar sembarang, dan misalkan w adalah vektor sembarang di W. Maka, dari definisi W^⊥, kita memiliki 〈u, w〉 = 0 dan 〈v, w〉 = 0. Dengan menggunakan sifat dasar dari hasil kali dalam, kita dapatkan:

〈u + v, w〉 = 〈u, w〉 + 〈v, w〉 = 0 + 0 = 0

〈ku, w〉 = k〈u, w〉 = k(0) = 0

yang menunjukkan bahwa u + v dan ku berada di W^⊥.

9. Hubungan Geometri antara Ruang Nol dan Ruang Baris

Jika A adalah matriks m × n, maka:

(a) Ruang nol dari A dan ruang baris dari A adalah komplemen ortogonal di Rn dengan memperhatikan hasil kali dalam Euklidean.

Semua vektor di ruang nol dari A akan tegak lurus terhadap setiap vektor di ruang baris dari A, dan sebaliknya. Ini berarti bahwa ruang nol dan ruang baris "saling melengkapi" dalam ruang Rn.

(b) Ruang nol dari Aᵀ (transpos dari A) dan ruang kolom dari A adalah komplemen ortogonal di Rm dengan memperhatikan hasil kali dalam Euklidean.

Semua vektor di ruang nol dari Aᵀ akan tegak lurus terhadap setiap vektor di ruang kolom dari A, dan sebaliknya. Ini berarti bahwa ruang nol dari transpos A dan ruang kolom dari A saling melengkapi dalam ruang Rm.

Bayangkan sebuah bidang (ruang baris) dalam ruang tiga dimensi. Ruang nol dalam hal ini akan berupa garis yang tegak lurus terhadap bidang tersebut. Semua vektor pada garis ini akan tegak lurus terhadap setiap vektor pada bidang.

Perhatikan uraian berikut:

Kita ingin menunjukkan bahwa komplemen ortogonal dari ruang baris A adalah ruang nol dari A. Untuk melakukan ini, kita harus menunjukkan bahwa jika suatu vektor v ortogonal terhadap setiap vektor di ruang baris, maka Av = 0, dan sebaliknya, jika Av = 0, maka v ortogonal terhadap setiap vektor di ruang baris.

Misal v ortogonal terhadap setiap vektor di ruang baris A. Maka khususnya, v ortogonal terhadap vektor baris r₁, r₂, ..., r_m dari A, artinya:

r₁ ∙ v = r₂ ∙ v = ... = r_m ∙ v = 0

Tetapi sistem linear Ax = 0 dapat dinyatakan dalam notasi hasil kali dot sebagai:

sehingga v adalah solusi dari sistem ini dan dengan demikian terletak di ruang nol dari A.

Sebaliknya, misal v adalah vektor di ruang nol dari A, sehingga Av = 0.

r₁ ∙ v = r₂ ∙ v = ... = r_m ∙ v = 0

Tetapi jika r adalah vektor sembarang di ruang baris dari A, maka r dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor baris A, misalnya:

r = c₁r₁ + c₂r₂ + ... + c_mr_m, kalikan titik masing-masing ruas dengan v

r ∙ v = (c₁r₁ + c₂r₂ + ... + c_mr_m) ∙ v 

= c₁(r₁ ∙ v) + c₂(r₂ ∙ v) + ... + c_m(r_m ∙ v) 

= 0 + 0 + ... + 0

= 0

yang artinya v ortogonal terhadap setiap vektor di ruang baris A.