Diagonalisasi Matriks

1. Diagonalisabilitas

Sebuah matriks persegi A dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat sebuah matriks P yang dapat dibalik sehingga P^-1AP merupakan matriks diagonal. Matriks P dikatakan mendiagonalisasi A.

2. Hubungan Diagonalisasi dengan Vektor Eigen

Misal 𝐴 matriks berukuran 𝑛 × 𝑛. 𝐴 dapat didiagonalisasi jika dan hanya jika 𝐴 memiliki 𝑛 vektor eigen yang bebas linear.

(i) Jika A dapat didiagonalisasi maka A memiliki n vektor eigen yang bebas linear.

Karena A dapat didiagonalisasi, terdapat matriks yang dapat dibalik

sehingga P^-1AP adalah diagonal, katakanlah P^-1AP = D, di mana

Dari persamaan P^-1AP = D, kita dapatkan AP = PD, yaitu

Jika kita misalkan p₁, p₂, ..., p_n menyatakan vektor kolom dari P, maka kolom-kolom berturut-turut dari AP adalah λ₁p₁, λ₁p₂, ..., λ₁p_n. Namun, kolom-kolom berturut-turut dari AP adalah Ap₁, Ap₂, ..., Ap_n. Dengan demikian, kita harus memiliki

Ap₁ = λ₁p₁, Ap₂ = λ₂p₂, ..., Ap_n = λ_np_n.

Karena P dapat dibalik, semua vektor kolomnya taknol; sehingga, λ₁, λ₂, ..., λ_n adalah nilai eigen dari A, dan p₁, p₂, ..., p_n adalah vektor eigen yang bersesuaian. Karena P dapat dibalik, vektor-vektor p₁, p₂, ..., p_n bebas linear. Dengan demikian, A memiliki n vektor eigen yang secara linear bebas.

(ii) Jika A memiliki n vektor eigen yang bebas linear maka A dapat didiagonalisasi

Misal A memiliki n vektor eigen yang linier bebas, p₁, p₂, ..., p_n, dengan nilai eigen yang bersesuaian λ₁, λ₂, ..., λ_n dan misalkan

menjadi matriks yang kolom-kolomnya adalah p₁, p₂, ..., p_n. Kolom-kolom dari hasil kali AP adalah Ap₁, Ap₂, ..., Ap_n. Namun,

Ap₁ = λ₁p₁, Ap₂ = λ₂p₂, ..., Ap_n = λ_np_n, sehingga

di mana D adalah matriks diagonal dengan elemen diagonal λ₁, λ₂, ..., λ_n. Karena kolom-kolom dari P bebas linear, maka P dapat dibalik. Dengan demikian, AP = PD dapat ditulis ulang sebagai P^-1AP = D, yang berarti A dapat didiagonalisasi.

3. Prosedur Diagonalisasi Matriks

Berikut prosedur untuk mendiagonalisasi matriks A:

1. Tentukan vektor eigen dari 𝐴 yang bebas linear 

2. Susun matriks 𝑃 yang kolom-kolomnya terdiri dari vektor-vektor eigen dari 𝐴 yang bebas linear

3. Tentukan 𝑃^-1 

4. Periksa 𝑃^-1𝐴𝑃

Contoh:

Nilai-nilai eigen dari A adalah λ = −1 ∨ λ = 1 ∨ λ = 2

Vektor-vektor eigen yang bersesuaian adalah:

Susun vektor-vektor eigennya menjadi matriks P

Tentukan invers dari matriks P

Cek hasil kali 𝑃^-1𝐴𝑃

Hasil kali 𝑃^-1𝐴𝑃 merupakan matriks diagonal.

Tambahan:

Jika seseorang hanya tertarik untuk menentukan apakah suatu matriks dapat didiagonalisasi dan tidak peduli dengan menemukan matriks P yang sebenarnya untuk mendiagonalisasinya, maka tidak perlu menghitung basis untuk ruang eigen; cukup mencari dimensi dari ruang eigen. Jika ruang eigen menghasilkan total vektor basis kurang dari n, maka matriks A tidak dapat didiagonalisasi.

4. Hubungan Vektor Eigen dengan Kebebasan Linear

Jika v₁, v₂, ..., v_k adalah vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan nilai eigen yang berbeda λ₁, λ₂, ..., λ_k, maka {v₁, v₂, ..., v_k} adalah himpunan yang bebas linear.

Perhatikan uraian berikut:

Misalkan v₁, v₂, ..., v_k adalah vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan nilai eigen yang berbeda λ₁, λ₂, ..., λ_k.

Menurut definisi, vektor eigen merupakan vektor taknol, maka {v₁} adalah himpunan yang linear bebas. Misalkan r adalah bilangan bulat terbesar sedemikian sehingga {v₁, v₂, ..., vᵣ} adalah himpunan yang bebas linear.

Andaikan {v₁, v₂, ..., v_k} tidak bebas linear, berarti r < k. Selain itu, menurut definisi r, {v₁, v₂, ..., v_r+1} adalah himpunan yang tidak bebas linear. Dengan demikian, terdapat skalar c₁, c₂, ..., c_k, yang tidak semuanya nol, sedemikian sehingga:

c₁v₁ + c₂v₂ + ... + c_rv_r + c_r+1v_r+1 = 0 (i)

Kalikan kedua ruas dengan A dan menggunakan Avᵢ = λᵢvᵢ, kita dapatkan:

c₁λ₁v₁ + c₂λ₂v₂ + ... + c_rλ_rv_r + c_r+1λ_r+1v_r+1 = 0 (ii)

(ii) − λ_r+1(i), diperoleh:

c₁(λ₁ − λ_r+1)v₁ + c₂(λ₂ − λ_r+1)v₂ + ... + c_r(λ_r − λ_r+1)v_r = 0 (iii)

Karena {v₁, v₂, ..., vᵣ} adalah himpunan yang bebas linear, persamaan (iii) menyiratkan bahwa:

c₁(λ₁ − λ_r+1) = c₂(λ₂ − λ_r+1) = ... = c_r(λ_r − λ_r+1) = 0

Dan karena λ₁, λ₂, ..., λ_r+1 berbeda, diharuskan:

c₁ = c₂ = ... = cᵣ = 0 (iv)

Dengan mensubstitusikan nilai-nilai ini ke persamaan (i), kita dapatkan:

c_r+1v_r+1 = 0 

Karena vektor eigen v_r+1 merupakan vektor taknol, diharuskan:

c_r+1 = 0 (v)

Satukan (iv) dan (v)

c₁ = c₂ = ... = c_r = c_r+1 = 0

Hal ini kontradiksi dengan fakta bahwa c₁, c₂, ..., c_r+1 tidak semuanya nol. Oleh karena itu pengandaian harus diingkar, sehingga yang benar adalah {v₁, v₂, ..., v_k} adalah himpunan yang bebas linear.

5. Banyak Nilai Eigen dan Diagonalisabilitas

"Jika sebuah matriks A berukuran n × n memiliki n nilai eigen yang berbeda, maka A dapat didiagonalisasi."

Catatan: Implikasi ini tidak berlaku kebalikan. Matriks dengan adanya nilai eigen yang sama bisa jadi dapat didiagonalisasi dan bisa jadi tidak dapat didiagonalisasi.

Kasus khusus: Matriks segitiga dengan entri-entri diagonal utama semuanya berbeda dapat didiagonalisasi.

6. Matriks Blok Jordan

Matriks yang terlihat seperti matriks identitas kecuali diagonal tepat di atas diagonal utama juga bernilai 1, dikenal sebagai matriks blok Jordan dan merupakan contoh kanonik dari matriks yang tidak dapat didiagonalisasi.

Matriks blok Jordan Jₙ memiliki ruang eigen dengan dimensi 1 yang merupakan rentang dari e₁. Matriks-matriks ini muncul sebagai submatriks dalam dekomposisi Jordan, semacam "mendekati diagonal" untuk matriks yang tidak dapat didiagonalisasi.

7. Multisiplitas Geometri dan Aljabar

A. Kelipatan Geometri dan Aljabar

Jika λ₀ adalah nilai eigen dari sebuah matriks A berukuran n × n, maka dimensi dari ruang eigen yang bersesuaian dengan λ₀ disebut kelipatan geometrik dari λ₀, dan banyaknya kali λ₀ − λ muncul sebagai faktor dalam polinomial karakteristik dari A disebut kelipatan aljabar dari λ₀.

Kelipatan geometrik adalah dimensi dari ruang eigen. Ini menunjukkan berapa banyak vektor bebas linear yang dapat kita temukan dalam ruang eigen tersebut.

Kelipatan aljabar adalah banyaknya kali nilai eigen λ₀ muncul sebagai akar dari polinomial karakteristik. Ini menunjukkan "tingkat kelipatan" nilai eigen tersebut dalam polinomial karakteristik.

B. Hubungan Kelipatan Geometri dan Aljabar

Ketidaksamaan: Kelipatan geometrik selalu kurang dari atau sama dengan kelipatan aljabar.

Diagonalisasi: Suatu matriks dapat didiagonalisasi jika dan hanya untuk setiap nilai eigen, kelipatan geometrik sama dengan kelipatan aljabar.

8. Perpangkatan Matriks

Ada banyak masalah dalam matematika terapan yang memerlukan perhitungan pangkat tinggi dari sebuah matriks persegi. Kita akan menunjukkan bagaimana diagonalisasi dapat digunakan untuk menyederhanakan perhitungan tersebut untuk matriks-matriks yang dapat didiagonalisasi.

Jika A adalah sebuah matriks n × n dan P adalah sebuah matriks yang dapat dibalik, maka

(P⁻¹AP)² = P⁻¹APP⁻¹AP = P⁻¹A(PP⁻¹)AP = P⁻¹A²P

Secara lebih umum, untuk setiap bilangan bulat positif k,

(P⁻¹AP)ᵏ = P⁻¹AᵏP 

Dari persamaan ini, jika A dapat didiagonalisasi dan P⁻¹AP = D adalah sebuah matriks diagonal, maka

P⁻¹AᵏP = (P⁻¹AP)ᵏ = Dᵏ 

Dengan menyelesaikan persamaan ini untuk Aᵏ, kita dapatkan

Aᵏ = PDᵏP⁻¹ 

Persamaan terakhir ini menyatakan pangkat ke-k dari A dalam bentuk pangkat ke-k dari matriks diagonal D. Namun, Dᵏ sangat mudah dihitung, karena

contoh:

Tentukan pangkat ke-10 dari matriks

Matriks A dapat didiagonalisasi, dengan P, P⁻¹, dan D adalah

Sehingga pangkat ke 10 dari matriks A adalah

Cara ini lebih cepat dari menghitung perpangkatan dengan cara biasa.